Question

已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=1/2x2+1的形状相同,它的对称轴是x=-2,它与x轴的两

已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=1/2x2+1的形状相同，它的对称轴是x=-2，它与x轴的两个交点之间的距离为2.,求a,b,c的值。

Answer 1

已知，抛物线 y = ax²+bx+c 与抛物线 y = (1/2)x²+1 的形状相同，它的对称轴是 x = -2 ，
可得：y = ax²+bx+c = (1/2)(x+2)²+k = (1/2)x²+2x+2+k ，其中 k 为常数，
比较同类项的系数可得：a = 1/2 ，b = 2 ；

设方程 ax²+bx+c = 0 的两根为 x1、x2 ，
由韦达定理可得：x1+x2 = -b/a = -4 ，x1x2 = c/a = 2c ；

已知，抛物线 y = ax²+bx+c 与 x 轴的两个交点之间的距离为 2 ，
可得：|x1-x2| = 2 ，
则有：4 = (x1-x2)² = (x1+x2)²-4x1x2 = 16-8c ，
解得：c = 3/2 ；

综上可得：a = 1/2 ，b = 2 ，c = 3/2 。