Question

如图,梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD，AB=AD=1/2BC,BC平分角DBD',且BD=BD'。求证CD‘垂直于BD’

Answer 1

证明：

如图，作DE∥AB交BC于E

 

易证四边形ABED为菱形、△CDE为正三角形

 

∴∠DEC=60°、∠DBC=30°

∴∠BDC=90°

 

易证△BD'C≌△BDC

 

∴∠BD'C=90°

即CD'⊥BD'

Answer 2

证明：取BC的中点E，连接DE，
因为AD=1/2BC=BE，且AD//BC，
所以ABED是平行四边形，AB=AD，所以ABED是菱形
所以AB=ED=DC=EC
则三角形DEC为等边三角形
角DCE=角DEC=角CDE=60°
因为BE=ED
所以角EBD=角EDB=30°（因为角DEC=60°）
所以角BDC=角BDE+角CDE=30°+60°=90°
所以CD垂直于BD
因为BD=BD' 角DBC=角D'BC BC=BC(边角边)
所以三角形D'BC全等于三角形DBC
所以角CDB=角CD'B=90°
所以CD‘垂直于BD’

Answer 3

证明：取BC中点E，连结DE。
因为 BD=BD‘，BC=BC，BC平分角DBD’，
所以 三角形BCD‘全等于三角形BCD，
所以 角D’=角BDC，
因为 E是BC的中点，
所以 BE=CE=1/2BC，
因为 AB=CD，AB=AD=1/2BC，
所以 AB=AD=CD=BE=CE，
因为 AD//BC，AD=CE，
所以 四边形AECD是平行四边形，
所以 AE=CD=AB=BE，
所以 三角形ABE是等边三角形，
所以 角ABC=角DCB=60度，
因为 AD//BC，
所以 角ADB=角DBC，
因为 AB=AD，
所以 角ADB=角ABD，
所以 角DBC=角ABD=1/2角ABC=30度，
所以 角BDC=180度--角DCB--角DBC=90度，
所以 角D‘=角BDC=90度，
所以 CD’垂直于BD‘。

Answer 4

图