Question

已知三个关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx……2+ax+b=0恰有一个公共实数根

求证a+b+c=0

Answer 1

证明：
左边三式相加得ax^2+bx+c+bx^2+cx+a+cx^2+ax+b=0
合并同类项得
（a+b+c）x^2+(a+b+c)x+(a+b+c)=0
即（a+b+c）（x^2+x+1）=0
又∵x^2+x+1＝x^2+x+¼+¾=（x+½)^2+¾>0
∴a+b+c=0

Answer 2

把三个等式相加，得到：（a+b+c）x^2+(a+b+c)x+(a+b+c)=0
如果 （a+b+c）不等于0 等式两边同时除（a+b+c）
得到： x^2+x+1=0 易证此等式无解
所以只有（a+b+c）=0