Question

判断函数y=根号下(x²-1）在定义域上的单调性

解答如下：
函数的定义域为x^2-1≥0,即{x|x≤-1或x≥1}，则可分解成两个简单函数f(x)=根号u,u=x^2-1的形式。
当x≥1，即x∈〔1，+∞)时，根号u为增函数，u=x^2-1为增函数。
所以f(x)= 根号（x^2-1）在〔1，+∞)上为增函数
当x≤-1,即x∈(-∞,-1〕时，根号u为减函数，u=x^2-1为减函数。
所以f(x)= 根号（x^2-1）在(-∞,-1〕上为减函数
我不明白当x≤-1,即x∈(-∞,-1〕时，为什么根号u为减函数，而且不是两个函数是减的，复合函数应该是增的吗

Answer 1

当x≤-1,即x∈(-∞,-1〕时，随着x的增大，u在减小，根号u自然在减小，所以为减函数。对于函数f(u)为根号u时，u是自变量，定义域是≥0，是增函数；x≤-1时，u=x^2-1为减函数，所以复合函数是减函数。这里说的增函数和上面说的，当x≤-1,即x∈(-∞,-1〕时，根号u为减函数，u=x^2-1为减函数，有区别，要就它说的定义域进行理解，自己再慢慢琢磨一下吧

Answer 2

当x≤-1,即x∈(-∞,-1〕时，根号u应该为增函数，u=x^2-1为减函数，根据“同增异减”原则可判断复合函数为减函数。
相信自己的判断，该自信的时候就自信，不轻信于书本，书本的错误多的是

追问

那到底为什么是增函数

追答

幂函数y=x^a（x>=0)当a>0时，为增函数，这个是幂函数的性质。

幂函数的图象：
　　①当a≤-1且a为奇数时，函数在第一、第三象限为减函数
　　②当a≤-1且a为偶数时，函数在第二象限为增函数
　　③当a=0且x不为0时，函数图象平行于x轴且y=1、但不过(0,1)
　　④当0<a<1时，函数是增函数
　　⑤当a≥1且a为奇数时，函数是奇函数
　　⑥当a≥1且a为偶数时，函数是偶函数
　　幂函数的图像不过第四象限

追问

什么意思

追答

y=根号u，这个函数不就是自变量为u，指数a=1/2的幂函数么

追问

那只是在第一象限，但现在是x≦﹣1

追答

y=根号u这个函数和x有什么关系？
看来你没有真正理解复合函数单调性的求法，我给你详细讲一下：

对于复合函数y=f(g(x))而言，我们设u=g(x),则原函数为y=f（u）
u函数为中间函数，y=f（u）为复合函数
求复合函数单调性必须记住：当中间函数的单调性与复合函数的单调性相同的时候，原函数为增函数，反之为减函数。即“同增异减”原则。
引入了中间函数u=g(x)后，y=f（u）就不是一个关于x的函数了，而是关于自变量u的函数，此时f（u）的定义域不再是 x的范围了，而是u的范围，即u=g(x)的值域。

就本题而言u=x^2-1为中间函数
y=根号下u为引入中间函数后的复合函数
u=x^2-1的单调性理解了
那么y=根号下u其实就是一个很简单得幂函数，直接根据幂函数得到其单调性即可！

如果还不理解，请加我qq:331740554，我传资料给你看