Question

高手帮忙解一道数学应用题

某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰三角形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9√3㎡，且高度不低于√3米，记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y（米）（1）.求y关于x的函数关系式，并指出其定义域（2）.要是防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？ 求此时外周长的值

Answer 1

根据【横断面为等腰三角形，腰与底边成角为60°】，可以得出此三角形为等边三角形，已知横断面积为9√3㎡，可以求出其边长有唯一解。所以此题出得有问题。

Answer 2

图呢？？

Answer 3

有问题啊。

Answer 4

第二个小分句,应该是  "其横断面为等腰梯形"  吧,根据后面的题干猜的. 如果是这样,那就好办了. 

跟下面的人说的一样, 补全了成为三角形以后, 就是一个大等边三角形 减去 一个小等边三角形了. 

 

大三角形的面积是[√3(x+a)/2] × [(x+a)/2] = √3/4 (x+a)^2

小三角形的面积是√3/4 (a)^2

两者相减 √3/4 (x+a)^2 - √3/4 (a)^2 = 9√3 可以求出 x和a的关系.

关系是 √3/4 ( x^2 + 2ax + a^2 - a^2 ) = 9√3, 所以, a = (36-x^2) / 2x,

(1) 外周长y = x+a+x = 2x+(36-x^2) / 2x

化简 y= (3x^2 + 36) / 2x

满足的条件是x≥√3且a>0(因为高度不小于√3 且保证是一个梯形),所以,(36-x^2) / 2x >0 → 36-x^2 > 0  →   x<6

所以 √3≤x<6

 

 

 

(2) y= (3x^2 +36) / 2x  ≤ 10.5 

3x^2 + 36 ≤ 21x           →         x^2-7x + 12 ≤ 0      →          (x-3) (x-4) ≤0 

所以  3≤x≤4

 

 

 

(3) 求最值, 更好办了. 直接写成每一项是x的幂次的方程

y= (3x^2 +36) / 2x = 3/2 x  + 12/x

这种正一次和负一次加起来的曲线, 最小值在两项相等的时候取得.

也就是说

3/2  x = 12/x

所以

x^2 = 12 * 2/3  = 8

x=2√2

 

此时y= 3√2 +  3√2= 6√2

 

这时候x=2√2 是在定义域内的.满足.