Question

已知a,b∈R+,比较a^ab^b与(ab)^a+b/2的大小

Answer 1

a，b均>0，以a、b为真数的对数有意义。
lg(a^ab^b) -lg{(ab)^[(a+b)/2]}
=lg(a^a)+lg(b^b) -[(a+b)/2]lg(ab)
=alga+blgb-[(a+b)/2](lga+lgb)
=[a -(a+b)/2]lga +[b -[(a+b)/2]lgb
=[(a-b)/2]lga +[(b-a)/2]lgb
=[(a-b)/2]lga -[(a-b)/2]lgb
=[(a-b)/2](lga-lgb)
=[(a-b)/2]lg(a/b)
(1)
a>b>0时，(a-b)/2>0 a/b>1 lg(a/b)>0
[(a-b)/2]lg(a/b)>0
lg(a^ab^b) >lg{(ab)^[(a+b)/2]}
a^ab^b>(ab)^[(a+b)/2]
(2)
0<a<b时，
a>b>0时，(a-b)/2<0 a/b<1 lg(a/b)<0
[(a-b)/2]lg(a/b)>0
lg(a^ab^b) >lg{(ab)^[(a+b)/2]}
a^ab^b>(ab)^[(a+b)/2]
(3)
a=b>0时，
a>b>0时，(a-b)/2=0 a/b=1 lg(a/b)=0
[(a-b)/2]lg(a/b)=0
lg(a^ab^b) =lg{(ab)^[(a+b)/2]}
a^ab^b=(ab)^[(a+b)/2]

综上，得a^ab^b≥(ab)^[(a+b)/2]，当且仅当a=b时取等号。