Question

高等数学 高斯公式问题

I=∫∫xydzdx 其中S是x=e^(y^2+z^2) (y^2+z^2<=a^2) 求出I
要求用高斯公式

图形类似这个 x范围是1到e^(a^2)
y范围是0到a

Answer 1

显然在x=e^(a^2)时，∫∫xydzdx=0，
所以
I=∫∫xydzdx [其中S是x=e^(y^2+z^2) (y^2+z^2<=a^2) ]
=(封闭)∫∫xydzdx [其中S是x=e^(y^2+z^2) (y^2+z^2<=a^2) 和x=e^(a^2)组成的曲面]
这样就满足了高斯公式使用的条件，所以
原积分
=∫∫∫ ∂(xy)/∂y dv
=∫∫∫ x dv
转化为柱坐标，y=r *cosθ，z=r *sinθ
则y^2+z^2=r^2 <=a^2，即r的范围是0到a，而x的范围是1到e^(r^2)
故
∫∫∫ x dv
=∫ (上限e^(r^2),下限1) x dx * ∫(上限a,下限0)r dr * ∫(上限2π,下限0)dθ
显然
∫ (上限e^(r^2),下限1) x dx
= 0.5x^2 [代入上限e^(r^2),下限1]
= 0.5e^(2r^2) -0.5
而∫(上限2π,下限0)dθ =2π
所以
原积分
=∫∫∫ x dv
=∫ (上限e^(r^2),下限1) x dx * ∫(上限a,下限0)r dr * ∫(上限2π,下限0)dθ
= π * ∫(上限a,下限0) r * [e^(2r^2) -1]dr
= 0.5π * ∫(上限a^2,下限0) [e^(2r^2) -1]d(r^2)
= 0.5π * [0.5e^(2r^2) - r^2] [代入r的上限a,下限0]
= 0.5π * [0.5e^(2a^2) -a^2 -0.5]

追问

我这里和你算的一样 题目里面的积分面没有包括x=e^(a^2)那个圆面E 用高斯公式时这个是添补的 计算结果还要减去这个积分面 可我化的时候 面E的积分为∫∫xydzdx 而E垂直于xz面 那么积分不就为0了
可答案最后结果是π/4[(2a^2-1)e^(2a^2)+1] 我搞不清积分面E的计算我哪出错了

追答

对呀，计算完了是肯定要减去这个积分面的呢，
我开头不就说了么“显然在x=e^(a^2)时，∫∫xydzdx=0“
这时候都x已经是定值了，那dx肯定是0的啊

会不会是答案写错了一些呢？
π/4[(2a^2-1)e^(2a^2)+1]和π/4[2a^2 - e^(2a^2)+1]也很接近了

而且你没有说积分曲面的正方向和取的外侧内侧，可能正好就差个负号

追问

答案不是用高斯公式做的 是直接投影到yz面做的 后面提示可以用高斯公式做
高斯公式求出来是
0.5∫(0,2π)dt ∫(上限a,下限0) r * [e^(2r^2) -1]dr
它答案到这一步是

∫∫2y^2e^(2y^2+2z^2)dydz 化成极坐标就是
∫dt∫2(cost)^2e^(2r^2)r^2 dr^2 我照着算过 也没错 差就差在怎么多出了个cost

追答

按照∫∫2y^2e^(2y^2+2z^2)dydz来计算那得到的就是你给的答案呢

∫∫2y^2e^(2y^2+2z^2)dydz 令y=r *cosθ，z=r *sinθ
= ∫∫ 2(rcosθ)^2 * e^(2r^2) r dr dθ
= ∫(上限a^2,下限0) r^2 * e^(2r^2) d(r^2) * ∫(上限2π,下限0) (cosθ)^2 dθ
而
∫(上限a^2,下限0) r^2 * e^(2r^2) d(r^2)
= (0.5r^2 -1/4)e^(2r^2) [代入上下限]
= (0.5a^2 -1/4)e^(2a^2) +1/4

∫(上限2π,下限0) (cosθ)^2 dθ
= ∫(上限2π,下限0) (1+cos2θ)/2 dθ
= π
即
∫∫2y^2e^(2y^2+2z^2)dydz
= [(0.5a^2 -1/4)e^(2a^2) +1/4] * π
= π/4 * [(2a^2-1)e^(2a^2)+1]
就是你给的答案呢

会不会是你把题目就给写错了呢？

Answer 2

题目少给一个条件，曲面的侧，设为左侧（以你现在画的图为准）
作平面S1：x=e^(a²)，y²+z²≤a²，右侧
则S+S1为封闭曲面
∫∫(S+S1) xydzdx 由高斯公式
=∫∫∫ x dxdydz 积分区域为立体的内部
先积x
=∫∫dydz ∫[e^(y²+z²)→e^(a²)] x dx
=(1/2)∫∫ [e^(2a²)-e^(2y²+2z²)] dydz

用极坐标
=(1/2)∫∫ [e^(2a²)-e^(2r²)]r drdθ
=(1/2)∫[0→2π]dθ∫[0→a] [e^(2a²)-e^(2r²)]r dr

=π∫[0→a] [e^(2a²)-e^(2r²)]r dr
=(1/2)a²e^(2a²)+1/4-(1/4)e^(2a²)