Question

f(x)=x^2+x,若关于此函数的方程f(a^x)-a^(x+1)=5在[-1,1]有解,其中a大于0且不等于1,求a取值范围。

我的解:(a^x)^2+a^x-a^x×a=5化简得a^x(a^2-a+1)=5,可得a^x=五分之a^2-a+1,因为此方程在[-1,1]有解,a大于0且不等于0,所以a^x小于等于a,则五分之a^2-a+1小于等于a,求得a的取值范围为:3-2倍根号2小于等于a小于等于3-2倍根号2,且a不等于1
3减2倍根号2小于等于a小于等于3加2倍根号2,且a不等于1(我上面写错了),看看对不对并附上过程

Answer 1

你在第一步化简就出错了。计算结果为0<a<1/2或a>5，具体计算过程见图片，有不明白的欢迎再问

追问

不好意思，我仔细的看了一下，发现对于a的范围讨论，准确的应该是：a属于（0,1）时，a小于等于a^x小于等于1/a；a属于（1，+无穷）时，1/a小于等于a^x小于等于a，您可以仔细看看。不过，我关心的倒不是这个，我想求助于你，关于这个做题的方法，我能否问问？

追答

是应该加上等号，做题的方法？指的是思路吗？
本题思路过程不难，但需要细心：
第一步求出方程的解的表达式；第二步根据题意得到关于方程解的不等式，这里需要细心，要考虑全面；第三步就是求解不等式了

追问

我想问你是如何想到a^x的范围在a和1/a之间，是通过实例试出来的，还是什么？

追答

根据题意得出的：x在[-1,1]有解，即a^x的范围在1/a和a之间，或在a和1/a之间，

Answer 2

所以之后有点问题。要分类讨论。
当0<a<1,函数单调递减。
a<(a^2-a+1)/5<1/a
当a>1,函数单调递增。
1/a<(a^2-a+1)/5<a
照这样算下去应该就没问题了

Answer 3

错了
(a^x)^2+a^x-a^x×a=5化简得a^x(a^2-a+1)=5
这步错了
该等于a^x(a^x-a+1)
(a^x)^2=a^(2x)=a^x*a^x≠a^x*a^2
基本性质：(a^m)^n=a^(mn)
(a^m)(a^n)=a^(m+n)

a^(2x)+a^x-a^x*a=5
[a^(x)]^2+(1-a)a^x=5
令a^x=t
t^2+(1-a)t-5=0
对称轴在t=(a-1)/2<0
开口向上
在t∈[a,1/a]上有解
而0<a<1/a,
所以只有一个解落在这个区间内
即
a<=[(a-1)+根号((1-a)^2+20)]/2<=1/a
a+1<=根号((1-a)^2+20)<=2/a+1-a
解之得
a^2+2a+1<=a^2-2a+21<=4/a^2+1+a^2-4-2a+4/a
a<=5 且 1/a>=2
即0<a<=1/2

追问

不好意思，若0＜a＜1，则与您的0<a<1/a不符，所以应该向楼下的一样分类讨论

追答

我看成05
所以是(0,1/2]∪(5,无穷)