Question

如图（1），点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM． （1）判断CN、DM的关系

（2）如图（2），设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：△BCH是等腰三角形；
（3）将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，试求出CE:BE的值

Answer 1

(1)CN=DM;CN⊥DM.
证明:∵AM=DN;AD=DC;∠A=∠CDN=90°.
∴⊿DAM≌⊿CDN(SAS),CN=DM;∠ADM=∠DCN.
∴∠CHD=180°-(∠CDH+∠DCN)=180°-(∠CDH+∠ADM)=90°,得CN⊥DM.
(2)证明:取CD的中点F,连接BF,交CH于G.则DF=BM,且DF∥BM.
∴四边形BFDM为平行四边形,BF∥MD,得CG/GH=CF/FD=1,CG=GH;
又MD⊥CN(已证),则BF⊥CN.
即BF垂直平分CH,故:BC=BH.
(3)解:设ME交BC于P,连接DP.
∵CD=AD=A'D;DP=DP;∠DA'P=∠DCP=90°.
∴Rt⊿DCP≌Rt⊿DA'P(HL),CP=A'P.
设正方形边长为2,CP=x,则A'P=x,PM=A'P+A'M=x+AM=x+1,PB=BC-PC=2-x.
BM²+PB²=PM²,即1²+(2-x)²=(1+x)², x=2/3.即PC=2/3,PB=2-PC=4/3.
∵CE∥BM.
∴CE/BM=PC/PB,即CE/1=(2/3)/(4/3),CE=1/2.
所以,CE:BE=(1/2):√(BC²+CE²)=(1/2):√(4+1/4)=(1/2):(√17/2)=1:√17.

Answer 2

证明：（1）CN=DM，CN⊥DM，
∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，
∴AM=DN．AD=DC．∠A=∠CDN，
∴△AMD≌△DNC，
∴CN=DM．∠CND=∠AMD，
∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°，
∴CN⊥DM，
∴CN=DM，CN⊥DM；（3分）
（2）延长DM、CB交于点P．
∵AD∥BC，
∴∠MPC=∠MDA，∠A=∠MBP，
∵MA=MB，
∴△AMD≌△BMP，
∴BP=AD=BC．
∵∠CHP=90°，
∴BH=BC，
即△BCH是等腰三角形；
（3）∵AB∥DC，
∴∠EDM=∠AMD=∠DME，
∴EM=ED．
设AD=A′D=4k，则A′M=AM=2k，
∴DE=ME=EA′+2k．
在Rt△DA′E中，A′D2+A′E2=DE2，
∴（4k）2+A′E2=（EA′+2k）2，
解得A′E=3k，
∴tan∠DEM=A′D：A′E=43．（10分）

Answer 3

（2）延长DM交CB的延长线于P,则△PBM≌△DAM所以PB=AD=BC则由直角三角形PHC中斜边中线等于斜边一半得BH=BC,所以：△BCH是等腰三角形；
（3）由折叠得∠AMD=∠A′MD，因为AB平行于DC所以∠AMD=∠MDC所以∠A′MD=∠MDC所以△EMD为等腰三角形，设∠AMD=a，正方形边长为1，所以∠MDC=a则DE=1/2DM除以cosa而在△AMD中能求出cosa= 即可求出DE的长所以CE=DE-DC

在利用勾股定理求出BE的长即可求出比值