Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F
（1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF；
（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；
（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，设AE=x，BF=y，
①求y关于x的函数关系式，并写出定义域

Answer 1

1，证明：连接CD
因为点D是AB的中点
所以CD是三角形ACB的中线
因为AC=BC
角ACB=90度
所以三角形ACB是等腰直角三角形
角A=45度
CD是等腰直角三角形ACB的角平分线和中线
所以角BCD=1/2角ACB=45度
CD=AD
因为DF垂直DE
所以角EDF=90度
因为角ACB+角CED+角EDF+角DFC=360度
所以角CED+角DFC=360-90-90=180度
因为角AED+角CED=180度
所以角AED=角DFC
角A=角BCD=45度
因为AD=CD(已证）
所以三角形AED和三角形CFD全等（AAS)
所以DE=DF
2，解：过点D作DG平行BC与AC相交于点G
所以AD/DB=AG/CG
角AGD=角ACB
因为角ACB=90度
AC=BC
所以角AGD=90度
三角形ACB是等腰直角三角形
所以角A=45度
因为角A+角AGD+角ADG=180度
所以角A=角ADG=45度
所以AG=DG
所以DG/CG=AD/DB
因为AD:DB=m
所以DG/CG=m
所以tan角GCD=DG/CG=m
因为DE垂直DF
所以角EDF=90度
所以tan角DFE=DE/DF
角ACB+角EDF=180度
所以C.E.D.F四点共圆
所以角GCD=角DFE
所以DE:DF=m
3,解：过点D作DE'平行BC交AC于E',DF'平行AC交BC于F'
所以角EE'D+角ACB=180度
角FF'D+角ACB=180度
AE'AC=AD/AB
BF'/BC=BD/AB
因为AD:DB=1：2
AC=BC=6
所以AD:AB=1：3
BD:AB=2：3
所以AE'=2
BF'=4
角AED=角BFD(已证）
因为角ACB=90度
所以角EE'D=角FF'D=90度
所以三角形EE'D和三角形FF'D相似（AA)
所以EE'/FF'=DE/DF
因为DE/DF=AD/DB=1/2（已证）
所以EE'/FF'=1/2
因为EE'=AE-AE'
因为AE=x
所以EE'=x-2
因为BF=4
BF=FF'+BF'
所以BF'=4-y
所以(x-2)/(4-y)=1/2
y=8-2x
因为y>0
所以8-2x>0
所以x<4
因为x>0
所以x的定义域是：0<x<4

Answer 2

1，证明：连接CD
因为点D是AB的中点
所以CD是三角形ACB的中线
因为AC=BC
角ACB=90度
所以三角形ACB是等腰直角三角形
角A=45度
CD是等腰直角三角形ACB的角平分线和中线
所以角BCD=1/2角ACB=45度
CD=AD
因为DF垂直DE
所以角EDF=90度
因为角ACB 角CED 角EDF 角DFC=360度
所以角CED 角DFC=360-90-90=180度
因为 角AED 角CED=180度
所以角AED=角DFC
角A=角BCD=45度
因为AD=CD(已证）
所以三角形AED和三角形CFD全等（AAS)
所以DE=DF
2，解：过点D作DG平行BC与AC相交于点G
所以AD/DB=AG/CG
角AGD=角ACB
因为角ACB=90度
AC=BC
所以角AGD=90度
三角形ACB是等腰直角三角形
所以角A=45度
因为角A 角AGD 角ADG=180度
所以角A=角ADG=45度
所以AG=DG
所以DG/CG=AD/DB
因为AD:DB=m
所以DG/CG=m
所以tan角GCD=DG/CG=m
因为DE垂直DF
所以角EDF=90度
所以tan角DFE=DE/DF
角ACB 角EDF=180度
所以C.E.D.F四点共圆
所以角GCD=角DFE
所以DE:DF=m
3,解：过点D作DE'平行BC交AC于E',DF'平行AC交BC于F'
所以角EE'D 角ACB=180度
角FF'D 角ACB=180度
AE'AC=AD/AB
BF'/BC=BD/AB
因为AD:DB=1：2
AC=BC=6
所以AD:AB=1：3
BD:AB=2：3
所以AE'=2
BF'=4
角AED=角BFD(已证）
因为角ACB=90度
所以角EE'D=角FF'D=90度
所以三角形EE'D和三角形FF'D相似（AA)
所以EE'/FF'=DE/DF
因为DE/DF=AD/DB=1/2（已证）
所以EE'/FF'=1/2
因为EE'=AE-AE'
因为AE=x
所以EE'=x-2
因为BF=4

(1)过D做DH垂直AC于H，过D做DG垂直BC于G；
易得等边直角三角形ADH及DBG;
由于D是边AB中点，，所以显然有AD=DB=DH=DG；
又有∠DGF=∠DHE=90°；
又∠GDF+∠HDF=∠HDE+∠HDF=90°；所以∠GDF=∠HDE;
所以易由角边角知，△EDH全等于△FDG；
所以由于△EDH全等于△FDG，则DE=DF。
（看不到图的话你按上面说的画一下辅助线即可）
（2）同理过D做DH垂直AC于H，过D做DG垂直BC于G；
因为∠DGF=∠DHE=90°；
又∠GDF+∠HDF=∠HDE+∠HDF=90°；所以∠GDF=∠HDE;
所以易由角角知，△EDH相似于△FDG；
因为△EDH相似于△FDG，所以DE：DF=DH：DG=AD/sin45°：DB/sin45°=AD：DB=m

BF=FF' BF'
所以BF'=4-y
所以(x-2)/(4-y)=1/2
y=8-2x
因为y>0
所以8-2x>0
所以x<4
因为x>0
所以x的定义域是：0<x<4 希望对你有帮助