Question

已知点P（2,0）和圆C: x^2+y^2-6x+4y+4=0

设直线ax-y+1=0与圆C交于A、B两点，是否存在实数a，使得过P的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出a的值；不存在，请说明理由。

Answer 1

y=ax+1 (1)
x^2+y^2-6x+4y+4=0 (2)
(1),(2)解得
a^2x^2+2ax+1+x^2-6x+4ax+8=0
(a^2+1)x^2+(6a-6)x+9=0
x1=[(6-6a)- √-72a)]/2(a^2+1) x2=[(6-6a)+√(-72a)]/2(a^2+1)(a<0)
y1=a[(6-6a)- √-72a)]/2(a^2+1)+1 y2=a[(6-6a)+√(-72a)]/2(a^2+1)+1
中点M x0=(x1+x2)/2 y0=(y1+y2)/2
P到直线AB的距离为
|2a+1|/√(a^2+1)
它不等于MP的距离
所以不垂直平分弦。

Answer 2

过p点的直线欲垂直平分AB，根据垂径定理，当且仅当过p点的直线过圆心o。
所以，连接点P与圆心，求出斜率为k=-2.
则直线ax-y+1=0斜率为1/2.
所以a=1/2.

Answer 3

y=ax+1
(1)
x^2+y^2-6x+4y+4=0
(2)
(1),(2)解得
a^2x^2+2ax+1+x^2-6x+4ax+8=0
(a^2+1)x^2+(6a-6)x+9=0
x1=[(6-6a)-
√-72a)]/2(a^2+1)
x2=[(6-6a)+√(-72a)]/2(a^2+1)(a<0)
y1=a[(6-6a)-
√-72a)]/2(a^2+1)+1
y2=a[(6-6a)+√(-72a)]/2(a^2+1)+1
点M
x0=(x1+x2)/2
y0=(y1+y2)/2
P直线AB距离
|2a+1|/√(a^2+1)
等于MP距离
所垂直平分弦