Question

已知函数f(x)=xlnx,若a>0,b>0证明f(a)+(a+b)ln2>=f(a+b)-f(b)

用构造函数怎么证明

Answer 1

设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意的实数λ∈(0,1)，总有
f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),
则f称为I上的凸函数，也叫下凸函数。
改变不等号的方向就是凹函数，也叫上凸函数。
移项，得f(a)+f(b)>=(a+b)ln[(a+b)/2]，两边同除以2，得[f(a)+f(b)]/2>=f[(a+b)/2]
因此，只要证明f(x)为R+上的凹函数，在定义式中取λ=1/2即证。
用二阶导数恒非负即可得函数为凹函数。
f'=1+lnx
f''=1/x>0在R+上恒成立，即证