Question

求一答案 数学

16.
已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

Answer 1

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，
AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
AO=CO， AE=CE， AF=CF
AE//CF，角ACF=角CAE，三角形AEO全等与三角形CFO
AE=CF，所以四边形为菱形。
同理可证三角形ABC相似与三角形COF，CO=1/2*4*根号5=2根号5，FO=根号5，CF=5
在t小于等于1时，P、Q在AC及CD上，AC始终不能与CD平行，故A、C、P、Q四点不可能为平行四边形。
当t=1时，P、Q在F、D，此后，当P、Q在BF及DE上，当AQ=CP,即DQ=BP时，四点组成平行四边形，此时，DQ=4（t-1），BP=BF-5（t-1）=8-5-5（t-1）
4（t-1)=3-5(t-1)
t-1=1/3
t=4/3
当P、Q在AB和CE上时，同理，也不可能是平行四边形。
a=5*4/3=30/3
b=4*4/3=16/3

Answer 2

解：
（1）
∵AO=CO，易证△AOE≌△COF（AAS）
即AE∥CF且AE=CF
∴AFCE为平四

同时AE=CE
∴AFCE为菱形

设AF=x，则BF=8-x
在Rt△ABF中，x²=4²+（8-x）²
解得AF=x=5

（2）
①
i.当P在AF上时，Q在CD上，四点无法构成平四

ii.当P在BF时，Q在DE上，可以构成平四APCQ
此时BP=DQ
即BP=BF-FP=3-（5t-AF）=8-5t
DQ=4t-CD=4t-4
即8-5t=4t-4
∴t=4/3秒

iii.当P在BA上时，Q在DE或EC上，四点均无法构成平四

综上，当t=4/3时，APCQ为平四

②
由①知，当P在BF时，Q在DE上，可以构成平四APCQ
此时BP=DQ

BP=BF-FP=3-（5t-AF）=8-5t=8-a
DQ=4t-CD=4t-4=b-4

8-a=b-4
即a+b=12