Question

当x<0时,f(x)=(1+2x)^(1/x);当x>=0时,f(x)=a+x.如果f(x)在x=0处连续,则a=?

Answer 1

因为f(x)在x=0处连续
因此，f(x)在该点的左极限等于右极限
左极限：x趋于0-
lim f(x)
=lim (1+2x)^(1/x)
=lim e^(1/x)ln(1+2x)
再有e^x连续
=e^lim ln(1+2x) / x
这是0/0型，根据L'Hospital法则
=e^lim 2/(1+2x)
=e^2
右极限：x趋于0+
lim f(x)
=lim a+x
=a
又有f(x)在该点的左极限等于右极限
即有：e^2=a

当然，在求左极限的时候可以用重要的极限直接得出
x趋于0-
lim f(x)
=lim (1+2x)^(1/x)
=lim (1+2x)^(2/(2x))
=lim [(1+2x)^(1/(2x))]^2
因为x^2连续
=[ lim (1+2x)^(1/(2x)) ]^2
=e^2
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