Question

已知a,b,c为三角形ABC的三条边长满足(根号a+根号b+根号c)的平方

已知a,b,c为三角形ABC的三条边长满足(根号a+根号b+根号c)的平方=3（根号ab+根号ac+根号bc），试说明三角形ABC是等边三角形

Answer 1

因为(√a+√b+√c)^2=3(√ab+√ac+√bc)
a+b+c+2√ab+2√bc+2√ac=3(√ab+√bc+√ac)
a+b+c-√ab-√bc-√ac=0,
2a+2b+2c-2√ab-2√bc-2√ac=0,
2(√a)^2+2(√b)^2+2(√c)^2-2√ab-2√bc-2√ac=0,
[(√a)^2-2√a+(√b)^2]+[(√b)^2-2√bc+(√c)^2]+[(√a)^2-2√ac+(√c)^2]=0
(√a-√b)^2+(√b-√c)^2+(√a-√c)^2=0,
所以√a-√b=0,√b-√c=0,√a-√c=0
所以√a=√b=√c
所以a=b=c
所以三角形ABC是等边三角形

Answer 2

(√a+√b+√c)^2=3(√ab+√ac+√bc)
a+√ab+√ac+b+√ab+√bc+c+√ac+√bc=3√ab+3√ac+3√bc
a+b+c-√ab-√ac-√bc=0
2a+2b+2c-2√ab-2√ac-2√bc=0
2(√a)^2+2(√b)^2+2(√c)^2-2√ab-2√ac-2√bc=0
(√a)^2+(√b)^2-2√ab+(√a)^2+(√c)^2-2√ac+(√b)^2+(√c)^2-2√bc=0
(√a-√b)^2+(√a-√c)^2+(√b-√c)^2=0
因为(√a-√b)^2>=0
(√a-√c)^2>=0
(√b-√c)^2>=0
所以(√a-√b)^2=0
(√a-√c)^2=0
(√b-√c)^2=0
所以a=b
a=c
b=c
所以a=b=c
所以三角形是等边三角形

Answer 3

先把两边同时平方，得到a+b+c+2根号ab+2根号ac+2根号bc=3（根号ab+根号ac+根号bc）
然后a+b+c=根号ab+根号ac+根号bc
然后根号aa+根号bb根号cc-根号ab-根号ac-根号bc=0
然后根号a(根号a-根号b)+根号b(根号b-根号c)+根号c(根号c-根号a)=0
因为根号a、根号b、根号c大于0所以要是等式成立只有括号内的等于0所以a=b=c
所以三角形ABC是等边三角形