Question

如图所示,点C为线段AE上一点,△ABC,△CDE都是等边三角形,直线AD,BC交于点M,直线BE、CD交于点N。是判断

△CMN

是什么三角形？并说明理由

Answer 1

目测就是正三角形。以下是证明过程：
在△ACD和△BCE中
AC=BC
∠ACD=∠BCE=120°
CD=CE
所以△ACD≌△BCE（SAS）
所以∠CAD=∠CBE
因为BC//DE
所以∠DEB=∠CBE
所以∠CAD=∠DEB
所以∠AEB=∠BAD
因为AB//CD
所以∠CDA=∠BAD
所以∠CDA=∠AEB……………………下面证全等需要
在△MCD和△NCE中
∠MCD=∠NCE=60°
CD=CE
∠CDM=∠CEN
所以△MCD≌△NCE（ASA）
所以CD=CN
又∠BCD=60°是显而易见的
所以△CMN是正三角形

Answer 2

C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是（　　）

A、只有①②④ B、只有①②③ C、只有②③④ D、只有①③④
解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE①成立，排除C，
由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，
又∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
又AC=BC，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE②成立，排除D，
由△CQB≌△CPA得AP=BQ③成立，排除A．
故选B．

是不这个题？

Answer 3

等边△CMN
证明：
∵等边△ABC,△CDE
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60
∴∠BCD＝180-∠ACB-∠DCE＝60
∴∠BCD＝∠ACB
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝120, ∠BCE＝∠DCE+∠BCD＝120
∴∠ACD＝∠BCE
∴△ACD≌△BCE （SAS
∴∠CAD＝∠CBE
∴△ACM≌△BCN （ASA）
∴CM＝CN
∴等边△CMN

Answer 4

解:
∵△ABC、△CDE都是等边△
∴∠ACB=∠ECD=60°
∴∠BCD=60°
∵AC=BC，DC=EC，∠ACD=120°=∠BCE
∴△ACD≌△BCE﹙SAS﹚
∴∠DAC=∠EBC，即∠MAC=∠NBC
又∵AC=BC，∠ACM=∠BCN=60°
∴△ACM≌△BCN﹙ASA﹚
∴MC=NC
∵∠BCD=60°
∴△CMN是等边△