Question

这几道高数题难道就没人会了么？！

今天之内能解出答案的，人格担保必追加100分！！！

解出答案的请在此留个名 http://zhidao.baidu.com/question/470854903.html?quesup2#
假如觉得分不够的，私信我，我再加！加满了我再去开一道题继续加，加到你们满意为止！我就不信这几道学校练习册上的题目连一个人都答不上来。。。

Answer 1

1。设函数z=z(x，y)由方程组x=f(u，v)，y=g(u，v)，z=h(u，v)确定，求∂z/∂x.
解：∂z/∂x=(∂h/∂u)(∂u/∂x)+(∂h/∂v)(∂v/∂x)=(∂h/∂u)/(∂x/∂u)+(∂h/∂v)/(∂x/∂v).
2.曲面2x+3y+z=e^(y+z)+5，求在点M（1，2，-2)处的切平面方程。
解：F(x，y，z)=2x+3y+z-e^(y+z)-5=0
∂F/∂x=2；∂F/∂y=3-e^(y+z)；∂F/∂z=1-e^(y+z)；
∂F/∂x︱(1，2，-2)=2；∂F/∂y︱(1，2，-2)=3-e^(2-2)=3-1=2；∂F/∂z︱(1，2，-2)=1-e(2-2)=0
故在点(1，2，-2)处该曲面的切平面方程为：2(x-1)+2(y-2)=0，或x+y-3=0.
3.求方程(1+x)y″+y′=ln(1+x)的通解
解：令y′=p，则y′′=dp/dx，代入原式得(1+x)(dp/dx)+p=ln(1+x)........(1)
先研究齐次方程：(1+x)(dp/dx)+p=0；分离变量得dp/p=-dx/(1+x)；积分之得lnp=-ln(1+x)+lnC′
=ln[C′/(1+x)]；故得p=C′/(1+x)；用参数变易法，把C′ 换成x的函数u，得p=u/(1+x)........(2)
将(2)对x取导数得dp/dx=y″=[(1+x)(du/dx)-u]/(1+x)²；代入(1)式得：
(1+x)[(1+x)(du/dx)-u]/(1+x)²]+p=ln(1+x)
化简并将(2)代入得du/dx-u/(1+x)+u/(1+x)=ln(1+x)
故得du/dx=ln(1+x)，于是u=∫ln(1+x)dx=∫ln(1+x)d(1+x)=(1+x)ln(1+x)-x+C₁
代入(2)式得p=y′=[(1+x)ln(1+x)-x+C₁]/(1+x)=ln(1+x)-x/(1+x)+C₁/(1+x)
故y=∫[ln(1+x)-x/(1+x)+C₁/(1+x)]dx=∫ln(1+x)d(1+x)-∫[x/(1+x)]dx+C₁∫dx/(1+x)
=(1+x)ln(1+x)-x-∫[1-1/(1+x)]dx+C₁ln(1+x)
=(1+x)ln(1+x)-x-x+ln(1+x)+C₁ln(1+x)+C₂
=(x+2+C₁)ln(1+x)-2x+C₂
即y=(x+2+C₁)ln(1+x)-2x+C₂为原方程的通解。

Answer 2

貌似难度并不大，不过由于我一贴图就会被吞，只能手动答了，可能看着会比较费劲，要稍等。

1、x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)两边对x求偏导得：
1=fu*∂u/∂x+fv*∂v/∂x 其中：fu和fv表示f对u，v求偏导
0=gu*∂u/∂x+gv*∂v/∂x 其中：gu和gv表示g对u，v求偏导
∂z/∂x=hu*∂u/∂x+hv*∂v/∂x
从前两式中解出：∂u/∂x，∂v/∂x，然后代入第三式即可
∂u/∂x=gv/(fugv-fvgu) 等式右边的u,v均是下标

∂v/∂x=-gu/(fugv-fvgu)

然后代入第三式，下略

2、F(x,y,z)=2x+3y+z-e^(y+z)-5
Fx=2
Fy=3-e^(y+z)
Fz=1-e^(y+z)
将M(1,2,-2)代入得切平面的法向量：(2，2，0)
因此切平面方程为：2(x-1)+2(y-2)=0，即：x+y-3=0

3、令y'=p，方程化为：
(1+x)p'+p=ln(1+x)，即：p'+p/(1+x)=[ln(1+x)]/(1+x)
一阶线性微分方程，解得
p=e^(-∫1/(1+x)dx) [∫ ln(1+x)*e^(∫1/(1+x)dx) dx + C1]
=e^(-ln(1+x)) [∫ ln(1+x)*e^(ln(1+x)) dx + C1]
=1/(1+x) [∫ (1+x)[ln(1+x)] dx + C1]
=1/(1+x) [(1/2)∫ [ln(1+x)] d((1+x)²) + C1]
=1/(1+x) [(1/2)(1+x)²ln(1+x)-∫ (1+x) dx + C1]
=1/(1+x) [(1/2)(1+x)²ln(1+x)-(1/2)(1+x)² + C1]

=(1/2)(1+x)ln(1+x)-(1/2)(1+x)+C1
即：y'=(1/2)(1+x)ln(1+x)-(1/2)(1+x)+C1
两边积分得：
y=∫ [(1/2)(1+x)²ln(1+x)-(1/2)(1+x)² + C1] dx
=(1/6)∫ ln(1+x) d(1+x)³-(1/6)(1+x)³ + C1x
=(1/6)(1+x)³ln(1+x) - (1/6)∫ (1+x)² dx - (1/6)(1+x)³ + C1x
=(1/6)(1+x)³ln(1+x) - (1/18)(1+x)³ - (1/6)(1+x)³ + C1x + C2

刚才算错了，修改了一下

追问

可惜还是有错。。。但是也非常感谢您！

追答

p=e^(-∫1/(1+x)dx) [∫ ln(1+x)*e^(∫1/(1+x)dx) dx + C1]
=e^(-ln(1+x)) [∫ ln(1+x)*e^(ln(1+x)) dx + C1]
=1/(1+x) [∫ (1+x)[ln(1+x)] dx + C1]
=1/(1+x) [(1/2)∫ [ln(1+x)] d((1+x)²) + C1]
=1/(1+x) [(1/2)(1+x)²ln(1+x)-∫ (1+x) dx + C1]
=1/(1+x) [(1/2)(1+x)²ln(1+x)-(1/2)(1+x)² + C1]
=(1/2)(1+x)ln(1+x)-(1/2)(1+x)+C1/(1+x)

即：y'=(1/2)(1+x)ln(1+x)-(1/2)(1+x)+C1/(1+x)
两边积分得：
y=∫ [(1/2)(1+x)ln(1+x)-(1/2)(1+x)+C1/(1+x)] dx
=(1/4)(1+x)²ln(1+x)-(1/2)(1+x)²+C1ln(1+x)+C2

Answer 3

请问 你读。。高几