Question

yy''－y'^2=y∧2㏑y可降阶的微分方程求高人指点

Answer 1

方程不含x，根据套路，令y'=p，则y''=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p(dp/dy)
代入原方程，可知yp(dp/dy)-p^2=y^2lny，
把y^2除到左边，得(p/y)(dp/dy)-(p/y)^2=lny
令p/y=t，则dp/dy=d(yt)/dy=t+y(dt/dy)
则t(t+y(dt/dy))-t^2=lny
即tydt/dy=lny
分离变量，tdt=(lny/y)dy
积分，(t^2+C)/2=(lny)^2/2(C为常数)
则(p/y)^2+C=(lny)^2
(y'/y)^2+C=(lny)^2
即dy/dx=|(ylny)^2-Cy^2|^(1/2)
再分离变量并积分
原方程的解即为（D为常数）
∫{|(lny)^2-C|^(-1/2)/y}dy=x+D
其中左边的积分难以用初等函数表示，故挂着即可。