Question

设函数f(x)+4^x/(4^x +2),若0<a<1,试求:

（1）f（a）+f（a-1）的值

（2）f（1/1001）+f（2/1001）+f（3/1001）+……+f（1000/1001）的值
（3）求值域。

Answer 1

（1）f（a）+f（1-a）的值
为避免通分
1-f(a)=1-4^a/(4^a +2)=2/(4^a +2)=4/(2·4^a+4)=4^(1-a)/(4^(1-a)+2)=f(1-a)
所以
f（a）+f（1-a）=1
（2）f（1/1001）+f（2/1001）+f（3/1001）+……+f（1000/1001）的值
f（1000/1001）+f（1-1000/1001）=1
f(999/1001)+f(1-999/1001)=1
f(998/1001)+f(1-998/1001)=1
……
f(500/10001)+f(1-500/1001)=1
将这500个等式相加
原式=500

（3）求值域。
f(x)=4^x/(4^x +2)=1-2/(4^x+2)
t=4^x+2>2
0<1/t<1/2,
-1<-2/t<0
0<1-2/t<1
0<y<1
法2 分子常数化
f(x)=1/(1+2·4^(-x))
t=1+2·4^(-x)>1
0<1/t<1
也有0<y<1

Answer 2

应该是f(x)=4^x/(4^x +2),