Question

已知函数f［x］＝（ax^2＋bx＋c）e^（-x）(a不等于0)的图像过点（0，2a），且在该点处切线的斜

已知函数f［x］＝（ax^2＋bx＋c）e^（-x）(a不等于0)的图像过点（0，2a），且在该点处切线的倾斜角为45度
1．试用a表示b、c
2．若f［x］在［2，正无穷）上为单调递增函数，求a的取值范围

Answer 1

1. f（x）＝（ax^2＋bx＋c）e^（-x）
f'（x）＝(2ax+b)e^（-x）-e^（-x）*(ax²+bx+c）
将x=0 时 f（x）=2a ，f'（x)=1代入 （该点处切线的倾斜角为45度，说明斜率为1，f'(x)=1
得c=2a b=c+1=2a+1

2. f［x］在［2，正无穷）上为单调递增函数，则 f'(x)≥0在[2,+∞)恒成立
f'(x)=(2ax+b)e^（-x）-e^（-x）*(ax²+bx+c）=(-2ax²-bx-c+2ax+b)e^(-x) =(-2ax²-x+1)e^(-x)
e^(-x)＞0在[2,+∞)恒成立，若（-2ax²-x+1)≥0在[2,+∞)恒成立，则在[2,+∞)为单调递增函数
设y=-2ax²-x+1 则此函数开口必向上 即-2a＞0 （不等于0的原因是 不然是斜向下的一次函数，若是斜向下的话，等于0也是可能的） 则a＜0 对称轴x=-1/4a＞0
分情况讨论：
（1）对称轴 0＜x＜2 即 0＜-1/4a＜2 -1/8＜a＜0 则只需x=2时 y≥0
解得a≤-1/8 所以a=-1/8
（2）对称轴x≥2 即a≤-1/8 则需要最小值≥0 当x=-1/4a时，y取到最小值为1/8a +1
解得a≥-8 -8 ≤a≤ -1/8
综上 ：-8 ≤a≤ -1/8
望采纳，亲~