Question

关于偏导数的一点疑惑

z=f（u，v，x），u=φ（x，y），v=ψ（y）都是可微函数。书上说记号∂f/∂x的含义是不清楚的。f（u，v，x）作为u，v，x的三元函数求∂f（u，v，x）/∂x，
与f（φ（x，y），ψ（y），x）作为x，y的二元函数求∂f（φ（x，y），ψ（y），x）/∂x的含义是不同的，因此应避免使用∂f/∂x，若要使用，则需加以说明。请问这段话怎么理解？说明的话要怎么说明？我看答案用的是∂z/∂x，为什么可以是这个？？恳请数学高手答疑解惑，谢谢！！

Answer 1

给你举个例子吧
z=f(u,x)=u+x²，其中u=xy
∂f/∂x有两种理解：一种是u+x²中x为自变量，u为常数，这样∂f/∂x=2x
另一种理解是：xy+x²中x为自变量，y为常数，这样∂f/∂x=y+2x
因此这就是有歧义。
如果写成∂z/∂x，则一定是后一种，没有歧义。

书上在此之后引入f1'，f2' 这种符号也是为了消除这种歧义

追问

说的有理。不过，∂f/∂x为什么不等于∂z/∂x，不是z=f吗？

追答

z=f 没错，但是z的自变量肯定是x与y，而f的自变量可以是x与y，也可以是u与y。

再举个例子吧，z=f(u,v,x)，其中u=xy，v=x+y
如果我问你 z 是几元函数？你可以毫不犹豫地回答，二元函数，自变量是x,y，u,v只是中间变量。
但是如果问 f 是几元函数，那就不能立刻回答了，你必须搞清楚提问的人究竟是打算把u，v当变量看，还是当两个函数看。如果u，v看作函数，那么这是二元函数，如果u，v看作变量，f是个三元函数。且多数情况下我们指的是后者。

若将 f 看作三元函数，求∂f/∂x时，u,v看作常数（无特别说明时，一般指这个）
若将 f 看作二元函数，求∂f/∂x时，u,v看作两个二元函数，此时y看作常数。

追问

谢谢。你第一个回答说，“一种是u+x²中x为自变量，u为常数，这样∂f/∂x=2x”。我想问的是，他既然后面已经标明u=xy，那就说明u与x有关，既然如此，那“u+x²中x为自变量，u为常数”显然是不合理的，那也就不存在歧义了啊？

追答

你还是没有理解 f 和 u 的区别。

算了，如果你理解不了就不必去搞清这个问题了。其实这个问题用处也不大。

Answer 2

这个问题貌似知道结果就够了，需要考虑得这么细吗