Question

求函数y=3√(x-5)+4√(6-x)的最大值

Answer 1

一种是注意到定义域x-5>=0,6-x>=0,5<=x<=6
然后0<=√(x-5),√(6-x)<=1
然后(√(x-5))^2+(√(6-x))^2=1
可以设cost=√(x-5),sint=√(6-x)
用辅助角得到
y=5sin(t+a)
最大值为5

第二种,基本不等式
y=3√(x-5)+4√(6-x)
=9*(1/3)√(x-5)+16*(1/4)√(6-x)
=(1/3)√(x-5)+...+(1/3)√(x-5)+(1/4)√(6-x)+...+(1/4)√(6-x)
一共9个(1/3)√(x-5),16个(1/4)√(6-x)
然后利用(a1+a2+...+a25)/25<=根号[(a1^2+a2^2+...+a25^2)/25]
(1/3)√(x-5)+...+(1/3)√(x-5)+(1/4)√(6-x)+...+(1/4)√(6-x)
<=25*根号{[9*(1/3√(x-5))^2+16*(1/4√(6-x))^2]/25}
<=25*根号[(x-5+6-x)/25]
<=25*根号(1/25)
<=5

等号成立时
(1/3)√(x-5)=(1/4)√(6-x)
(x-5)/9=(6-x)/16
16x-80=54-9x
25x=134
x=134/25
最大值为5