Question

设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合

设M是由满足下列性质的函数f（x）构成的集合：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．已知下列函数：①f(x)=1/x ；②f（x）=2x；③f（x）=lg（x^2+2）；④f（x）=cosπx，其中属于集合M的函数是

答案是2和4，想知道4个选项的全过程！！求详解。不要复制那个参考答案，我觉得不够明白，希望前辈写的明白些~谢谢了
因为三角函数还没复习到，而对数函数又不够熟悉。。

Answer 1

①f(x)=1/x 将其代入f（x0+1）=f（x0）+f（1），得1/(x0+1)=1+1/x0
于是有1/(x0+1)-1/x0=1
又因为x0+1>x0
所以1/(x0+1)<1/x0
故1/(x0+1)-1/x0<0 矛盾，所以不行
②f（x）=2x将其代入f（x0+1）=f（x0）+f（1），得2(x0+1)=2x0+2
显然成立
③f（x）=lg（x^2+2）将其代入f（x0+1）=f（x0）+f（1），
得lg[(x0+1）^2+2]=lg（x0^2+2）+lg（1^2+2）
又因为lg（x0^2+2）+lg（1^2+2）=lg[(x0^2+2)*3]=lg[(x0+1）^2+2]
所以(x0^2+2)*3=(x0+1）^2+2
化简得2x0^2-2x0+4=0
显然判别式小于0
故不成立
④f（x）=cosπx 将其代入f（x0+1）=f（x0）+f（1），
得cos[π（x0+1）]=cosπx0+cosπ
化简得cosπx0sinπ+cosπsinπx0=cosπx0+cosπ
即-sinπx0=cosπx0-1
即sinπx0+cosπx0=1
两边平方：（sinπx0）^2+(cosπx0)^2+2sinπx0cosπx0=1
又因为（sinπx0）^2+(cosπx0)^2=1
故2sinπx0cosπx0=0
所以sinπx0=0或cosπx0=0即可
故x0为整数即可

综上所述2、4满足题意