Question

已知函数f(x)=ax^2-lx+1l+2a（a为常数） （1）若1<=x<=2,求f(x)的最小值（2）若不等式f(x)<0无解，求a的取

Answer 1

解：
1、当1<=x<=2时，绝对值内为正数，可以直接去绝对值
f(x)=ax^2-(x+1)+2a=ax^2-x+2a-1
分类讨论：
1）a=0时，f(x)=-x,为单调递减函数
则在1<=x<=2时，最小值为f(2)=-2
2)a>0时，
f(x)=ax^2-x+2a-1=a[x-1/(2a)]^2+2a-1-1/4a
显然函数图象为抛物线，且开口向上
根据上式可知，抛物线对称轴为x=1/(2a),顶点坐标为（1/(2a),2a-1-1/4a）
当对称轴在区间【1，2】左侧时，函数单调递增，则最小值为f(1)=3a-2，此时1/2a<=1,a>=1/2
当对称轴在区间【1，2】右侧时，函数单调递减，则最小值为f(2)=6a-3,此时1/2a>=2,0<a<=1/4
当对称轴在区间【1，2】之间时，函数无单调性，，最小值在顶点处取得即2a-1-1/4a，此时1<=1/(2a)<=2,1/4<=a<=1/2
3)当a<0时
f(x)=ax^2-x+2a-1=a[x-1/(2a)]^2+2a-1-1/4a
抛物线对称轴为x=1/(2a),顶点坐标为（1/(2a),2a-1-1/4a）抛物线开口向下
当对称轴在区间【1，2】左侧时，函数单调递减，最小值f(2)=6a-3,此时1/2a<=1,a>=1/2，不成立，这种情况不可能；
当对称轴在区间【1，2】右侧时，函数单调递增，则最小值为f(1)=3a-2,此时1/2a>=2,a<0成立
当对称轴在区间【1，2】之间时，函数无单调性，则最小值为f(1)和f(2)之间的较小者，
令6a-3<=3a-2则a<=-1/3,令6a-3>=3a-2则a>1(舍去，因为前提a<0)
则当a<=-1/3时，最小值为f(2)=6a-3.

2、1）当x<=-1时
即f(x)=ax^2+x+2a+1<0无解，那么必有:
当a=0时，不等式即x<-1，显然解存在，则a=0不成立；
当a≠0时，必有a>0，且判别式=1-4a（2a+1)<0，解此不等式即可（此处不再解）；
2）当x>=-1时，
f(x)=ax^2-x+2a-1<0
和上面一样讨论，a=0时，必有x>1有解，所以a≠0;
当a≠0时，必有a>0，且判别式=1-4a（2a-1)<0解此不等式即可（此处不再解）