Question

初中代数难题（根式求值，解方程），数学高手帮帮忙！谢谢！

Answer 1

第一个：
先开根
因为7=4+3=2^2+(根号3)^2
而4根号3=2*2*根号3
所以7+4根号3=2^2+(根号3)^2+2*2*根号3=(2+根号3)^2
所以
4次根号(7+4根号3)=根号(2+根号3)
2+根号3=(4+2根号3)/2
4+2根号3=(根号3)^2+1^2+2*根号3*1=(根号3+1)^2
所以
4次根号(7+4根号3)

=根号(2+根号3)
=根号[(根号3+1)^2/2]
=(根号3+1)/根号2
=(根号6+根号2)/2

第二个
两边同乘abc
a(x-a)+b(x-b)+c(x-c)=2(bc+ca+ab)
(a+b+c)x=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
(a+b+c)x=(a+b+c)^2
x=(a+b+c)

第三个
一组解为m=4,n=13

Answer 2

第一题
解：四次方根（7+4根号3）（符号不会打不好意思）
7+4根号3=2²+（根号3）²+4（根号3）=（2+（根号3））²
所以四次方根（7+4根号3）=根号（2+（根号3））
2+（根号3）=（（根号6+根号2）/2）²
这类题目要注意观察根号内的式子是否是完全平方，一般的竞赛题都会凑好给你。
原式的值为根号（2+（根号3））²=根号（（（根号6+根号2）/2）²）²=根号（（根号6+根号2）/2）四次方=（根号6+根号2）/2

答：原式等于（根号6+根号2）/2

第二题
解：先通分。再消去分母abc，得到：
ax-a²+bx-b²+cx-c²=2ab+2bc+2ac
移项得：ax+bx+cx=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
ax+bx+cx=（a+b+c）²（这个请楼主务必记住，牢记，竞赛常常考到）
消去a+b+c得x=a+b+c
答：方程的解为x=a+b+c

第三题：
解：
m若为奇数，可能性唯一，m只能等于1。否则其他情况m²+1不为质数。

当m=1时，10（m²+1）=n²+1不成立
将10（m²+1）=n²+1拆开，移项得：
9（m²+1）=（n-m）（n+m）
显然
（n-m）（n+m）为正数，且为合数9（m²+1）为正数

m²+1是质数，它的因数为1和（m²+1），但9（m²+1)是合数
它的因数为1→9（m²+1），3→3（m²+1），9→（m²+1）
这三种情况，然后将
n-m，m-n分别代入。
例如。第一条。
n-m=1
n+m=9（m²+1）

总共要带四条，因为最后一条无法确定9和（m²+1）谁大谁小
带完之后，会得到4条关于m的一元二次方程，前两条结果是根的判定式即b²-4ac＜0
方程无解
后两条解得的m的正数根为m=2，m=4
当m=2时，
n=7
当m=4时，
n=13。
答：m，n的正整数可能性为（m，n）=（2,7）
（m，n）=（4，13）

不懂可追问。第三题算了我好久，本来想把四条方程都写上来，不过太麻烦了。

Answer 3

(1)解:7+4√3=7+2*2√3=2²+2*2*√3+(√3)²=(2+√3)²;
又2+√3=(8+4√3)/4=(6+2√12+2)/4=(√6+√2)²/2².
∴7+4√3=(2+√3)²=(√6+√2)⁴/2⁴=[(√6+√2)/2]⁴.
故4次根号下(7+4√3)=4次根号下[(√6+√2)/2]⁴=(√6+√2)/2.
(2)解:原方程能分,得:(ax-a²)/abc+(bx-b²)/abc+(cx-c²)/abc=2/a+2/b+2/c.
(ax+bx+cx-a²-b²-c²)/abc=2/a+2/b+2/c.
则ax+bx+cx-a²-b²-c²=2bc+2ac+2ab.
x(a+b+c)=a²+b²+c²+2bc+2ac+2ab=(a+b+c)².
又a+b+c≠0.
所以,x=(a+b+c)²/(a+b+c)=a+b+c.
(3)解:m,n为正整数,则m>1,n>1.故整数m²+1为大于1的整数.
∵10(m²+1)=n²+1.
∴m²+1=(n²+1)/10.
m²+1为大于1的质数,则(n²+1)必须为10的整数倍.
∴n²+1的个位数必为0,而n²的个位数必为9,故n的个位数必为3或7.
经检验知,符合题意的正整数n有两个,即n=7或13,相应m的值为2或4.
所有正整数m,n的值有两对,分别为m=2,n=7或m=4,n=13.

Answer 4

前面两题都比较简单，已有人回答，我就不多说了。
只想帮你解答第三题，因为他们的回答都过于麻烦了。

因为 10(m^2+1)=(3^2+1)(m^2+1)=(3m+1)^2+(m-3)^2=n^2+1^2 ，
所以，（1）3m+1=±1 ，则 m=0 或 m= -2/3 ，均不符合题意。
（2）m-3=1 ，则 m=4 ，n=3m+1=13 ；
（3）m-3= -1 ，则 m=2 ，n=3m+1=7 ，
因此，所有正整数解为（m，n）=（2，7）或（4，13）。

Answer 5

第一题 看这个结构就知道要对根式内部的七加四倍根号三进行配方，凑出来a方+b方+2ab的模式，有个根号3就知道ab里面有个3或者3的倍数~~~多配配就熟练了，一眼就看出来是 a方=3 b方=4嘛~~~ 就变成了2+根号3的和的平方再开四次方就是根号下的2+根号3~~~这里小难点来了，2+根号3的配方，要习惯配入分数啊~~~而且一看有根号的部分一般都是2ab的部分，这里只有根号3前面没有偶数倍整数，就要考虑配个分数进去了~~~是可以配成根号下二分之一和根号下二分之三的和的平方的。后面答案就很显然了~
第二题 先通分把有x项放在一边，没x项放在另一边，观察观察寻找希望0 0~~~~给你点提示，可以把a+b+c的和的平方展开来看看，会有惊喜的。
第三题 一个质数的十倍是另一个正整数的平方+1 ， n的平方末尾一定是9才能满足，所以n的个位是3或者7 看题目让你求所有的正整数。。。。猜他八成也是有限个。。。。一路试过去找找规律发现n的取值可以是7,13,对应的m值2,4使条件成立，貌似n和m再大就没有了从中找找规律逆推吧0 0估计后面是不会再有了，想办法反过来证明为咩没有了~~~~

Answer 6

(3)因为 10(m^2+1)=(3^2+1)(m^2+1)=(3m+1)^2+(m-3)^2=n^2+1^2 ，
所以，（1）3m+1=±1 ，则 m=0 或 m= -2/3 ，均不符合题意。
（2）m-3=1 ，则 m=4 ，n=3m+1=13 ；
（3）m-3= -1 ，则 m=2 ，n=3m+1=7 ，
因此，所有正整数解为（m，n）=（2，7）或（4，13）。