Question

已知：关于x的方程（k-1）×x的2次方+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2

1.求k的取值范围；
2.是否存在实数k，是方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在请说明理由。

Answer 1

1、由题可得：k-1≠0 则k≠1
△=（2k-3）²-4（k-1）（k+1）=4k²-12k+9-4k²+4= -12k+13＞0
则k＜13/12 且k≠1

2、由韦达定理得：
x1+x2= -（2k-3）/（k-1）=0
则：-（2k-3）=k-1
3k=2
k=2/3

Answer 2

1.
方程有两不相等的实数根，二次项系数≠0，判别式△>0。
k-1≠0 k≠1
△>0
(2k-3)²-4(k-1)(k+1)>0
-12k+13>0
12k<13
k<13/12
综上，得k<13/12且k≠1。
2.
假设存在两实根互为相反数，设为x，-x。
由韦达定理得
x+(-x)=-(2k-3)/(k-1)
x(-x)=(k+1)/(k-1)

-(2k-3)/(k-1)=0 k=3/2
-x²=(k+1)(k-1)=k²-1
x²=1-k²=1-(3/2)²=1-9/4=-5/4<0
平方项恒非负，x无解。
综上，得：不存在使方程有两互为相反数的实数根的k。

Answer 3

△>0
4k²-12k+9-4k²+4>0
12k<13
x²系数不等于0
k<13/12且k≠1

相反数x1+x2=0
x1+x2=-(2k-3)/(k-1)=0
2k-3=0
k=3/2
不符合k<13/12
所以不存在