Question

初中二年级几何证明题,请求速答！！

图1

图2

在△ABC中，AD平分∠BAC或∠BAC的外角，交BC边所在的直线于点D，过点C作CM⊥AD，垂足为点M，已知AB=AD.
(1)当AD平分∠BAC的外角时(如图1)，猜想线段AC、AB、AM之间的数量关系，并加以证明；
（2）当AD平分∠BAC的外角时(如图2)，猜想线段AC、AB、AM之间的数量关系，并加以证明；

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Answer 1

(1)AB-AC=2AM

如图1，延长CM交射线BA于点E,过C作CF垂直CE

可证得三角形ACM与AEM全等

所以EM=MC

因为AM,CF都垂直CM

所以AM与CF平行

所以EA=AF,AM=1/2CF,角BCF=角D

因为AB=AD

所以角B=角D=角FCB

所以BF=FC=2AM

因为角FCE=90度,EA=AF

所以AC=AF=AE

所以AB-AC=AB-AF=BF=2AM

 

(2)AC-AB=2AM

如图2,延长BA,CM交于点E,过C作CF垂直CM,交AB的延长线于点F

由已知,AD是外角平分线,所以也平分角CAE

可证得三角形ACM与AEM全等

所以EM=MC

因为AM,CF都垂直CM

所以AM与CF平行

所以EA=AF,AM=1/2CF,角DCF=角D

因为AB=AD

所以角D=ABD=CBF=角FCB

所以BF=FC=2AM

因为角FCE=90度,EA=AF

所以AC=AF=AE

所以AC-AB=AF-AB=BF=2AM

Answer 2

(1)过AC延伸至E使得AB=AE,连接BE，则∠ABE=∠AEB;∠PAD=∠D+∠ABD=2∠D；∠ACB=∠CAD+∠D=3∠D=∠AEB+∠EBD=∠ABD+∠EBD即得出∠D=∠EBD=∠ABD，BE∥AD,CE/AC=BE/AD=BE/AB①；再做∠BAE平分线至BE于F;则有AF∥CM；因AB=AE则F为BE中点即BF=1/2BE，在直角△AMC与直角△ABF中两角相等故△AMC∽△ABF则1/2BE/AB=AM/AC②,关联①②式得出CE=2AM，即线段AC、AB、AM之间的数量关系为AB=AE=AC+CE=AC+2AM
(2)延长AB至E使得AE=AC，∠BEC=∠ACE连接CE，∠PAD=∠D+∠ACD=∠DAB;∠ABC=∠D+∠DAB=2∠D+∠ACD=∠BEC+∠ECD=∠ACE+∠ECD=2∠ECD+∠ACD得出∠D=∠ECD即AD∥CE，因AD=AB即有BE=CE；做∠CAE的平分线交CE于F，角DAF=90°即AF垂直CE,AE=AC则F为CE中点；AF∥CM，则AM/AC=CF/AC,AM=CF=1/2CE=1/2BE;即AC=AE=AB+BE=AB+2AM即证明。两题类型完全相同

Answer 3

见答。

追问

问题是：试着猜想线段AC, AB ,AM 之间的数量关系 ，而不是AB、 AC、 DM 它们之间的关系啊 ，他答的是AB、 AC、 DM 它们之间的关系啊？？？？

追答

AM=AD-AM=AB-AM，只是一点换算而已。