Question

如图，AD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF.EF与AD 交于G.AD与EF垂直吗？证明.

Answer 1

证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴AE＝AF
∴AD⊥EF （等腰三角形三线合一）

或：
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED＝∠AFD＝90
∵AD＝AD
∴△AED≌△AFD （AAS）
∴AE＝AF
∵AG＝AG
∴△AEG≌△AFG （SAS）
∴∠AGE＝∠AGF
∵∠AGE+∠AGF＝180
∴∠AGE＝∠AGF＝90
∴AD⊥EF

Answer 2

垂直

因为AD是角分线，所以DE＝DF
三角形ADE≌三角形ADF

所以AE＝AF，角EAD＝角FAD，又因为AG=AG
所以三角形AEG≌三角形AFG
所以角AGE＝角AGF

又因为角AGE+角AGF＝180度
所以垂直。

Answer 3

解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=ADDE=DF​，
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF，又DE=DF，
∴AD垂直平分EF（到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上）．