Question

设二次函数y=ax^2+bx+c(a>0)的图像与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0),抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三

设二次函数y=ax^2+bx+c(a>0)的图像与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0),抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形。
（1）当三角形ABC为直角三角形时，求b²-4ac的值
（2）当△ABC为等边三角形，求b²-4ac的值。

Answer 1

AB为底边，过顶点C作CD垂直于AB，CD =-（C的纵坐标）=(b^2-4ac)/4a
AB=|x1-x2|=V(x1-x2)^2=V[(x1+x2)^2-4x1x2]=V(b^2-4ac)/2a
(1) AB=2CD, V(b^2-4ac)/2a=2*(b^2-4ac)/4a ,所以b^2-4ac=4
(2) AB*V3/2=CD, V(b^2-4ac)/2a*V3/2=(b^2-4ac)/4a,所以b^2-4ac=3

Answer 2

1. b^2-4ac=4
2.b^2-4ac=12

Answer 3

（1）y=ax^2+bx+c=a(x+b/(2a))^2+c-b^2/(4a)
a>0时，最小值为y(-b/(2a))=c-b^2/(4a)
即顶点C=C(-b/(2a)，c-b^2/(4a))
△ABC为直角三角形时，必为等腰直角三角形
则C到AB边上的高为h=|y(C)|=1/2*AB => |y(C)|^2=1/4*AB^2

=> [c-b^2/(4a)]^2=1/4*(x2-x1)^2=1/4*[(x1+x2)^2-4x1x2]=1/4*[b^2/a^2-4c/a]
=> [b^2-4ac]^2/(4a)^2=[b^2-4ac]/(4a^2)
=> [b^2-4ac]^2=4[b^2-4ac]
已知有两个交点，∴△=b^2-4ac>0
△=b^2-4ac>0 => b^2-4ac=4
∴当△ABC为直角三角形时，b^2-4ac的值为4
（2）△ABC为等边三角形，则C到AB边上的高为
h=|y(C)|=√3/2*AB => |y(C)|^2=3/4*AB^2
=> [c-b^2/(4a)]^2=3/4*(x2-x1)^2=3/4*[(x1+x2)^2-4x1x2]=3/4*[b^2/a^2-4c/a]
=> [b^2-4ac]^2/(4a)^2=3[b^2-4ac]/(4a^2)
=> [b^2-4ac]^2=12[b^2-4ac]
△=b^2-4ac>0 => b^2-4ac=12
∴△ABC为等边三角形时，b^2-4ac的值为12