Question

问一道数学题~~

Answer 1

2√3sinxcosx+2cos²x-1=k
√3sin2x+cos2x=k
2sin(2x+π/6)=k
(1)在R上有解，则-2≤k≤2
(2)在[0,π]上有解，
当x∈[0,π]时,
2x+π/6∈[π/6,13π/6]
2sin(2x+π/6)∈[-2,2]
所以-2≤k≤2时有解
(3)有两解时
根据y=sinx图像
当在0点和顶点时分别有3解和1解，所以k取值为k
-2<k<2且k≠0
(4)
sin(2x+π/6)=k/2
当k>2或k<-2时，原方程无解；
当1≤k≤2时，则
2x+π/6=arcsin(k/2)，
或2x+π/6=π-arcsin(k/2)
解得：
x=1/2*arcsin(k/2)-π/12
x=5π/12-1/2*arcsin(k/2)
当-2≤k≤1时
2x+π/6=π-arcsin(k/2)
或2x+π/6=2π+arcsin(k/2)
解得：
x=5π/12-1/2*arcsin(k/2)
或x=11π/12-1/2*arcsin(k/2)

Answer 2

2√3sinxcosx+2cos²x-1=k
√3sin2x+cos2x=k
k=2(√3/2*sin2x+1/2*cos2x)
k=2sin(2x+π/6)
(1)在R上有解
因为-1≤sin(2x+π/6)≤1，那么就要求-2≤k≤2
(2)在[0，π]上有解
当0≤x≤π时，π/6≤2x+π/6≤13π/6
那么-1≤sin(2x+π/6)≤1，于是-2≤2sin(2x+π/6)≤2
那么就要求-2≤k≤2
(3)在[0，π]上有两个不等的实数解
当0≤x≤π时，π/6≤2x+π/6≤13π/6，刚好是一个周期

那么只有在两个顶点处的x只有1解，所以-1<sin(2x+π/6)<1
那么就要求-2<k<2
(4)写出方程在[0，π]上的解，sin(2x+π/6)=k/2
①当k>2，或k<-2时，原方程无解；
②当1≤k≤2时，那么2x+π/6=arcsin(k/2)，或2x+π/6=π-arcsin(k/2)
于是解得：x=1/2*arcsin(k/2)-π/12，或x=5π/12-1/2*arcsin(k/2)
③当-2≤k≤1时，那么2x+π/6=π-arcsin(k/2)，或2x+π/6=2π+arcsin(k/2)
于是解得：x=5π/12-1/2*arcsin(k/2)，或x=11π/12-1/2*arcsin(k/2)

Answer 3

2√3sinxcosx+2cos²x-1=k
√3sin2x+cos2x=k
2sin(2x+π/6)=k
(1)在R上有解，则-2≤k≤2
(2)在[0,π]上有解，
当x∈[0,π]时,
2x+π/6∈[π/6,13π/6]
2sin(2x+π/6)∈[-2,2]
所以-2≤k≤2时有解
(3)有两解时
根据y=sinx图像
当在0点和顶点时分别有3解和1解，所以k取值为k
-2<k<2且k≠0
(4)
sin(2x+π/6)=k/2
当k>2或k<-2时，原方程无解；
当1≤k≤2时，则
2x+π/6=arcsin(k/2)，
或2x+π/6=π-arcsin(k/2)
解得：
x=1/2*arcsin(k/2)-π/12
x=5π/12-1/2*arcsin(k/2)
当-2≤k≤1时
2x+π/6=π-arcsin(k/2)
或2x+π/6=2π+arcsin(k/2)
解得：
x=5π/12-1/2*arcsin(k/2)
或x=11π/12-1/2*arcsin(k/2)
总而言之，你把这个方程化成最简方程

Answer 4

利用 sin2x = 2sinxcosx 和 cos2x = 2cos² - 1 转化原方程为
√3sin2x + cos2x = k
再利用 Asinα + Bcosα = √(A² + B²)sin(α + θ) 继续转化为
2 sin(2x + π/6) ＝ k ①
sin(2x + π/6) ＝ k / 2 ②
为帮助理解，画出②的图形(因为网页显示的问题略，但很重要)： 单个周期内起点在 - π/6，终点在10π/12

(1) R上有解，根据 -1 ≤ sin？ ≤ +1 得到 -2 ≤ k ≤ 2
(2) 在[0，π]上有解， -2 ≤ k ≤ 2 解为 [arcsin(k/2) - π/6 ] / 2
(3) 在[0，π]上有两不等解， -2 ≤ k ＜ 0.5 或者 K = 2
这里的.0.5对应的正好是x＝0时候的纵坐标交点水平线
(4) 解为 [arcsin(k/2) - π/6 ] / 2
从图形上看，在[0，π]上方程最多有3解，就是 k 介于[0, 1] 的情况；
在[0，π]上方程最少有1解，就是 k = 2 或者 k = -2 的情况，解分别为 x = π/6 或者 x = 2π/3；
在[0，π]上方程多数有2解，就是k∈(-2，0) ∪(1，+2)的情况，解为 [arcsin(k/2) - π/6 ] / 2 或者 π - [arcsin(k/2) - π/6 ] / 2

Answer 5

化简方程：
3^(1/2)sin2x+cos2x=k
k=2sin(2x+pi/6)
(1)在R上有解，则-2<=k<=2;
(2)由图像知，-2<=k<=2;
(3)由图像知，-2<k<1,1<k<2；
(4)x=1/2arcsink/2