Question

数学题 已知三棱锥P—ABC,平面PAB垂直与平面ABC,平面PAC垂直于平面ABC，AE垂直于平面PBC，E为垂足，求证

（1）PA垂直与平面ABC（2）当E为三角形PBC的垂足时，求证：三角形ABC为直角三角形
请写出计算步骤

Answer 1

(1)过点P向面ABC做垂涎PG垂直于点G
∵平面PAB垂直与平面ABC
∴PG在平面PAB内
又∵平面PAC垂直与平面ABC
∴PG在平面PAC内
两平面只能有一条交线
所以G点与A点重合
即PA垂直与平面ABC
(2)首先E点位置
∵E为三角形PBC的垂足
∴E在三角形PBC的一个边上
假设E在BC边上 连接AE、PE
那么有PE⊥BC AE⊥面PBC
∴PE⊥AE 又∵PE⊥BC
∴PE⊥面ABC E与A点重合 不符合要求
假设E在边PC上 连接AE、BE
那么有BE⊥PC AE⊥面PBC

∴AE⊥BE AE⊥BC
∴BE⊥面PAC
又∵PA⊥面ABC
∴PA⊥BC 又∵AE⊥BC
∴BC⊥面PAC
即点C与点E重合 ∠ACB=90°
同理 假设E在PB上时 点E与点B重合 ∠ABC=90°
综上所述 三角形ABC为直角三角形

Answer 2

:(1)在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC于F.
平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,
∴DF⊥平面PAC.PA包含于平面PAC.
∴DF⊥AP.
作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP.
DG､DF都在平面ABC内,
∴PA⊥平面ABC.
(2)连结BE并延长交PC于H.
∵E是△PBC的垂心,∴PC⊥BH.
又已知AE是平面PBC的垂线,∴PC⊥AE.
∴PC⊥平面ABE.
∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC.∴PA⊥AB.
∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AC.即△ABC是直角三角形.

Answer 3

没图，但可以做，（1）由定理平面PAC∩平面PAB=PA可证，（2）点E的位置不清楚，不影响证明；（连接PE，AE垂直于平面PBC⊥☞AE⊥BC，PA垂直与平面ABC☞PA⊥BC则有BC⊥△PAE这个与第二证明都是无关的证明；因为你的问题证明太简单)PA垂直与平面ABC☞PA⊥AC,PA⊥AB;由定理知平面PAB垂直平面PAC即AC⊥平面PAB☞AC⊥AB你是要证明定理？

Answer 4

∴AE⊥BE AE⊥BC
∴BE⊥面PAC
又∵PA⊥面ABC
∴PA⊥BC 又∵AE⊥BC
∴BC⊥面PAC
即点C与点E重合 ∠ACB=90°
同理 假设E在PB上时 点E与点B重合 ∠ABC=90°
综上所述 三角形ABC为直角三角形