Question

计算n阶行列式，求过程答案，题有图 10分钟之内求答案

Answer 1

方法1 归纳法
按照第一列展开。得到递推关系式
D = (α+β)Dn-1 - αβDn-2 （要求n≥3）
假设α≠β
D1 = α+β = (α平方 - β平方) / (α-β)
D2 = α平方 +αβ+ β平方 = (α立方 - β立方) / (α-β)
D3 = (α+β)(α平方 + β平方) = (α四次方 - β四次方) / (α-β)
设Dn-1 = (αn次方 - βn次方) / (α-β)
则Dn = (α+β)Dn-1 - αβDn-2 ＝......＝(α{n+1}次方 - β{n+1}次方) / (α-β)
数学归纳法 Dn = (α{n+1}次方 - β{n+1}次方) / (α-β)
当
α＝β可直接计算得到 Dn = (n+1) × α的n次方 = (n+1) * α的n次方

方法2 递推法
根据Dn = (α+β)Dn-1 - αβDn-2 得
Dn -αDn-1 = β(Dn-1 - αDn-2)
=β平方(Dn-2 - αDn-3)
=......
=β的(n-2)次方 * (D2 - αD1)
=β的n次方 ①

Dn -βDn-1 = α(Dn-1 - βDn-2)
=α平方(Dn-2 - Dn-3)
=......
=α的(n-2)次方 * (D2 - βD1)
=α的n次方 ②
当 α≠β时， β×① - α×②得到
Dn = (n+1) × α的n次方
当 α=β时， 直接由 ① 或者②得到
Dn = α的n次方 + αD(n-1)
= α的n次方 + α(α的n-1次方 - αD(n-2))
= 2α的n次方 + α平方*D(n-2)
=......
= (n-2)α的n次方 + α的(n-2)次方*D2
= (n+1) × α的n次方

方法3 打字写公式实在麻烦啊，算了