Question

已知在等差数列{an}中，a3=4,前7项和=35，数列{bn}中，点（bn,sn）在直线x+2y-2=0上，其中Sn是数列{bn}的

前n项和（n∈正整数
求证{bn}是等比数列

Answer 1

(1).已知在等差数列{a‹n›}中，a₃=4；S‹7›=35，求其通项公式。
解：a₃=a₁+2d=4........(1)；S‹7›=7a₁+21d=35.........(2)
(2)-7×(1)得7d=35-28=7，故d=1；a₁=4-2d=4-2=2；故a‹n›=2+1×(n-1)=n+1.
(2).点（b‹n›，s‹n›）在直线x+2y-2=0上，其中S‹n›是数列{b‹n›}的前n项和（n∈N),求证{b‹n›}是等比数列
证明：b‹n›+2S‹n›-2=0........(1)；b‹n+1›+2S‹n+1›-2=0..........(2)
(2)-(1)，并注意到S‹n+1›-S‹n›=b‹n+1›，
得b‹n+1›-b‹n›+2(S‹n+1›-S‹n›)=b‹n+1›-b‹n›+2b‹n+1›=0
故3b‹n+1›=b‹n›，于是得b‹n+1›/b‹n›=1/3=常量，
又由b‹n›=2-2S‹n›，得b₁=2-2S₁=2-2b₁，3b₁=2，于是得b₁=2/3；
∴数列{b‹n›}是一个首项b₁=2/3；公比q=1/3的等比数列。