Question

在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-4)^2+(y-5)^2=4和圆C2:(x+3)^2+(y-1)^2=4

在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-4)^2+(y-5)^2=4和圆C2:(x+3)^2+(y-1)^2=4
（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程
（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为2根号3，求直线l2的方程

Answer 1

（1）设L1方程为 A(x-2)+By=0 （这样设的好处是避免斜率不存在时有遗漏），
因为圆心（4，5），半径 r=2 ，
所以 |A(4-2)+5B|/√(A^2+B^2)=2 ，
去分母并平方得 4A^2+20AB+25B^2=4A^2+4B^2 ，
分解得 B(20A+21B)=0 ，
取 A=1 ，B=0 或 A=21 ，B= -20 ，
得切线方程为 x=2 或 21x-20y-42=0 。

（2）设L2方程为 A(x-4)+By=0 ，
因为圆心（-3，1），半径 r=2 ，
圆心到直线距离为 d=|A(-3-4)+B|/√(A^2+B^2) ，
由已知条件及勾股定理得 d^2+3=r^2 ，
化简得 (7A-B)^2=A^2+B^2 ，
展开分解得 A(48A-14B)=0 ，
取 A=0 ，B=1 或 A=7 ，B=24 ，
得 L2 方程为 y=0 或 7x+24y-28=0 。

Answer 2

1、设直线l1的方程为：y=k（x-2），即：kx-y-2k=0
C1圆心（4，5）半径2
利用点到直线的距离公式
|4k-5-2k|/√(k²+1)=2
(2k-5)²=4(k²+1)
k=21/20
∴y=(21/20)x-21/10
另外，x=2也是切线
2、设直线l2的方程为：y=k（x-4），即：kx-y-4k=0
∵圆心C（-3，1）到直线的距离=√[2²-（2√3/2)²]=1(利用弦心距）
∴|-3k+1-4k|/√(k²+1)=1
整理：24k²+7k=0
k=0或k=-7/24
∴y=0或y=(-7/24)x+7/6
即：y=0或7x+24y-28=0