Question

紧急！一道概率题

设随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)=2*e^-(x+2y) ， x>0 ，y>0
0 ， 其他
求随机变量Z=X+Y的概率密度？摆脱 写详细点吧 谢啦！！！

Answer 1

随机变量(X，Y)的概率密度为f(x,y)，
那么在整个xy平面上对概率密度f(x,y)的二重积分的值
∫∫ f(x,y)dxdy=1

在这里
f(x,y)=2*e^-(x+2y) ， x>0 ，y>0
所以
∫∫ 2*e^-(x+2y) dxdy=1
即
2* ∫ (上限∞,下限0) e^(-x)dx * ∫ (上限∞,下限0) e^(-2y)dy =1

很显然
∫ e^(-x)dx = -e^(-x)，代入上限∞,下限0，
显然x趋于∞时， -e^(-x)趋于0，
而x=0时，-e^(-x)= -1
即∫ (上限∞,下限0) e^(-x)dx = 0 - (-1)=1，

而同理
∫ (上限∞,下限0) e^(-2y)dy
=0.5 * ∫ (上限∞,下限0) e^(-2y)d(2y)
=0.5

所以
2* ∫ (上限∞,下限0) e^(-x)dx * ∫ (上限∞,下限0) e^(-2y)dy
=0.5*2=1

追问

两个积分能直接相乘 是不是错了啊？密度咋会等于1 呢？

Answer 2

有两种方法：
1.当z>=0时；直接用二重积分，被积函数是密度函数，积分域是D;(X>0;Y>0;X+Y<=Z)你自己画下就知道了，你自己积个分，我算的是e^-2z — 2e^-z + 1（没验算不知道是不是）。
当z<0时概率为0
2用卷积公式，用z和x表示y求f(x,x-z)在负无穷到正无穷对x的积分。积分区间可以自己试着画下，不难的。图形跟第一种差不多，电脑不好写，不好意思。