Question

您好，我觉得您的数学很好，想请教一个问题。

。已知方程2乘以x的方，减去5mx+3n=0的两根之比为2:3，方程x的方减去2nx+8m=0的两根相等（mn不等于0）。求证：对任意实数k,方程m乘以x的方+(n+k-1)x+k+1=0,恒有实数根。

Answer 1

方程 2x^2-5mx+3n = 0 的两根之比是 2∶3 ，可设两根分别为 2a、3a ；
则有：2a+3a = 5m/2 ，(2a)(3a) = 3n/2 ，
可得：m = 2a ，n = 4a^2 = m^2 。

方程 x^2-2nx+8m = 0 的两根相等，
(2n)^2-32m = 0 ，则有：n^2 = 8m 。
n = m^2 ，n^2 = 8m ，mn ≠ 0 ，m = 2 ，n = 4 ；
mx^2+(n+k-1)+k+1 = 0 ，
2x^2+(k+3)+(k+1) = 0 ，
(k+3)^2-8(k+1) = k^2-2k+1 = (k-1)^2 ≥ 0 ，
所以，此方程恒有实数根。

Answer 2

此方程恒有实数根。

Answer 3

活用韦达定理和判别式就没问题了