Question

an=3^n-2^n,求证:1/a1+1/a2+……+1/an<3/2

数学归纳法

Answer 1

证明：
a1=1，故，1/a1=1
1/an=1/(3^n-2^n)
1/a(n-1)=1/[3^(n-1)-2^(n-1)]，
(1/an)/(1/a(n-1))=[3^(n-1)-2^(n-1)]/(3^n-2^n)
=1/3*{(3^n-3/2*2^n]/(3^n-2^n)
<1/3
那么，
1/a1+1/a2+……+1/an<1/a1+1/a1*1/3+1/a1*(1/3)²+……+1/a1*(1/3)^(n-1)
=1+1/3+(1/3)²+……+(1/3)^(n-1)
=3/2*(1-1/3^n)
<3/2。
故，1/a1+1/a2+……+1/an<3/2.