Question

Mathematica如何画微分方程的斜率场图，并且画上在指定点的解曲线。

Answer 1

……你这问题也太过笼统了，能不能具体一些？

追问

比如，我要画微分方程y'=(xy)/(x^2+4)的斜率场，并画上在过定点（0，-6）的解曲线。

追答

……我本来是想和你确认下斜率场的概念的。刚查了下，嗯，和我猜的差不多。看了下帮助，mma其实有个画向量场的指令，VectorPlot，那么只要在这基础上变通下，就可以了：
l=Sqrt[x^2+(x (x y)/(x^2 + 4))^2](*VectorPlot画出来的箭头有长度，所以这里用l把箭头弄成了一样长。此外注意，第二项的x是必须的。*)
a = VectorPlot[{x/l, x (x y)/(x^2 + 4)/l}, {x, -2, 2}, {y, -8, -6}]

要画解曲线的话，那就得把原方程给解出来：
b=DSolve[{y'[x] == (x y[x])/(x^2 + 4), y[0] == -6}, y[x], x]

再就是画图了，画到一起：
c = Plot[y[x] /. b, {x, -2, 2}]

Show[a, c]

追问

不了解VectorPlot这个函数，请问l讲箭头变得一样长的原理是什么？谢谢！

追答

强烈建议弄个中文版8.0.4，自带帮助文档超强悍。因为VectorPlot这个函数画出来的箭头，其长度等于该点的向量的模长。我这里绘图的原理其实是在每个点上画了这么一个向量：（x，xy'），很明显这个向量的方向就和斜率场里的短线方向一样，但是我看了一下，斜率场的短线都是一样长的，但是这个向量很明显不是，所以我就把它除了个向量本身的长度、单位化了。