Question

问一道线性代数题

α1，α2，α3线性无关，证3α1+2α2，α2-α3，4α3-5α1线性无关
设k1(3α1+2α2)+k2(α2-α3)+k3(4α3-5α1)=0
(3k1-5k3)α1+(2k1+k2)α2+(-k2+4k3)α3=0
3k1-5k3=0
2k1+k2=0
-k2+4k3=0
做到这一步之后书上的做法是这个关于k1，k2，k3的方程的系数行列式不等于零 然后就k1，k2，k3都等于0，为什么非要那样做啊 直接解出来k1，k2，k3都等于0行不行啊？

Answer 1

前一种分析利用了克兰姆法则，对于关于k1，k2，k3的齐次方程组，未知数和方程的个数相等，均为3，由cramer法则，系数行列式非零，它有唯一解（还可以具体求出来），即零解。

追问

我想问能不能不用克莱姆法则 直接解出来 我看到书上全是用克莱姆法则 不理解为什么要用这么麻烦的办法算而不是直接解三元一次方程组

追答

当然可以不用，此步骤的目的就是为了说明k1，k2，k3都等于0，从而根据线性无关的定义可知题目的结论。条条大路通罗马，如何说明k1，k2，k3都等于0，方法不只这些，直接求解出k1，k2，k3的数值，也行的。管它黑猫白猫，逮到老鼠的就是好猫。

对于低阶行列式计算，cramer法则貌似不简便，但是对于高阶的适用情形，很快的。不要忘记了，用计算机编程求行列式数值，超快。cramer法则分子分母中那些个行列式的计算也就不算什么了。

书上就是这个意思。手工运算的，不具普遍性。

Answer 2

这两种，一样的。。。。。。。。。