Question

在一致连续定理中，为什么在开区间上就不一致连续，而在闭区间上就可以？

关于一致连续的定理，我不是很明白，它的实质是不是在任何一点上变化率就一样啊？还有在一致连续定理中，为什么在开区间上就不一致连续，而在闭区间上就可以？

Answer 1

这个定理的实质是对于这个区间我们可以统一地用一个ε来控制每点附近δ范围内的振幅。定理的证明你可以用有限覆盖定理来证，比较能反映本质。
一点处的连续性反映的是这点的邻域的性质，是局部性质，而一致连续性则反映的是定义在整个区间上函数的性质，是整体性质。所以一致连续性与定义域的拓扑性质有直接关系，具体来说就是紧致性。
我们知道，闭区间是紧致的，也就是有有限覆盖性，有限性使得我们能在所有的δ中找到一个最小的，从而由连续性推出了一致连续性。而开区间就不一定了，开区间不具有紧致性，所以其上面的连续函数不一定具有一致连续性。
其实类似的闭区间与开区间的性质的区别在数学分析中还有很多，大多数都是因为两者在紧致性上的差别。比如闭区间上连续函数的最大最小值那个定理，还有后面貌似还有个Dini定理也需要闭区间的要求，你可以查一查~