Question

已知函数f(x)=ax^2-(a+2)x+lnx （1）当a>0时,函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求a的范围

（2）若对任意x1、x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f(x1)+2x1＜f(x2)+2x2恒成立，求a范围

Answer 1

f(x)=ax^2-(a+2)x+lnx （x>0),
f'(x)=2ax-(a+2)+1/x
=[2ax^2-(a+2)x+1]/x,
=2a(x-1/2)(x-1/a)/x,
0<a<2时1/a>1/2;a>2时1/a<1/2.
（1）i)a>1时1/a<1,f'(x)>0(x∈[1,e]),
f(x)|min=f(1)=-2,满足题设。
ii)1/e<=a<=1时1<=1/a<=e,
f(x)|min=f(1/a)=1/a-(a+2)/a-lna=-2,
(a-1)/a=lna,①
设g(x)=xlnx-x+1,1/e<=x<=1,
g'(x)=lnx<=0,
∴g(x)↓，g(1)=0,
∴①有唯一解a=1.
iii)0<a<1/e时f'(x)<0,f(x)|min=f(e)=ae^2-(a+2)e+1=-2,
a(e^2-e)=2e-3,
a=(2e-3)/(e^2-e)>1/e(舍）。
综上，a>=1.
(2)对任意x1、x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f(x1)+2x1＜f(x2)+2x2恒成立,
<==>h(x)=f(x)+2x=a(x^2-x)+lnx(x>0)↑，
<==h'(x)=a(2x-1)+1/x=(2ax^2-ax+1)/x>0,
<==>2ax^2-ax+1>0,②
a=0时②成立；
a<0时②不成立；
a>0时a^2-8a<0,0<a<8,
a=8时h'(x)=(4x-1)^2/x>=0,h(x)↑，满足题设。
综上，0<=a<=8.

Answer 2

第一问，直接求导，寻找函数的单调区间，求最值并可。
第二问，需要构造一个函数g（x）=f（x）+2x

追问

能不能详细一点……