Question

△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于D，则△DBC的面积与△ABC的面积的比值是？

Answer 1

∠A＝36
∠B=∠ACB=(180-∠A)/2=(180-36)/2=72
∠BCD=∠ACD=∠ACB/2=72/2=36
∠ADC=180-∠B-∠ACD=180-72-36=72

设BC=x,BD=y
则:CD=BC=x,AD=CD=x
AB=AD+BD=x+y,AC=AB=x+y

易证,△ABC~△CBD
所以,AB/BC=CB/BD
(x+y)/x=x/y
1+y/x=x/y

设y/x=z
则:1+z=1/z
z^2+z-1=0
z=(-1±√5)/2
把不合题意的负数去掉
则:z=(√5-1)/2

因为△ABC~△CBD
所以:
△DBC的面积与△ABC的面积的比值
=(BD/BC)^2
=(y/x)^2
=z^2
=((√5-1)/2)^2
=(6-2√5)/4
=(3-√5)/2

Answer 2

过D做BC的高交于BC于E,做AC的高交于AC上于F

CD是∠ACB的平分线交AB于D
根据角平分线定理
DE=DF
CD=AD=BC

△DBC的面积=BC*DE/2
△ABC的面积=BC*DE/2+AC*DF/2=(BC+AC)*DE/2
△DBC的面积/△ABC的面积=BC/(BC+AC)=1/(1+AC/BC)

△ADC中有
CD^2=AD^2+AC^2-2AD*AC*COS36
CD=AD=BC
所以
AC^2=2AC*BC*COS36
AC/BC=2COS36

所以△DBC的面积/△ABC的面积
=1/(1+AC/BC)
=1/(1+2cos36)

Answer 3

过B向DC做垂线BH，
过A向CD座垂线AG
设BC=x
∠ACG=36
BH＝BC*Sin36°,AG=AC*Sin36°
S(△DBC):S(△ABC)=AG*CD:BH＊CD
＝AG：BH
=BC:AC
=2sin18°

Answer 4

三角形DBC三角形相似ABC相似比是根号下5-1除以2（即黄金分割值）面积比是相似比的平方所以
粉色回忆 答的对

Answer 5

把所有角度都写出来，知道BC＝CD，△DBC与△ABC是相似三角形，面积比等于线形比（BC／AC）的平方，2（1－cos36~）

Answer 6

黄金三角形啊~~~

C三角形ABC :C三角形BCD=AC:BC=(更5-1)/2