Question

三重积分计算球坐标

∫∫∫Ωxe^(x²+y²+z²)/a² * dv,其中Ω：x²+y²+z²≤a²，x≥0，y≥0，z ≥ 0

Answer 1

(1/a²)∫∫∫ xe^(x²+y²+z²) dV
=(1/a²)∫∫∫ rsinφcosθe^(r²)*r²sinφ drdφdθ
=(1/a²)∫[0→π/2] cosθ dθ∫[0→π/2] sin²φ dφ∫[0→a] r³e^(r²) dr
三个积分可以各积各的，为了书写方便，我这里分开来写，你做题时可一起做

∫[0→π/2] cosθ dθ
=sinθ |[0→π/2]

=1

∫[0→π/2] sin²φ dφ 可以用降幂来做，我这里用了一个性质

=(1/2)( ∫[0→π/2] sin²φ dφ + ∫[0→π/2] cos²φ dφ )
=(1/2)∫[0→π/2] 1 dφ
=π/4

∫[0→a] r³e^(r²) dr

=(1/2)∫[0→a] r²e^(r²) d(r²)
令r²=u，则u：0→a²
=(1/2)∫[0→a²] ue^u du

=(1/2)∫[0→a²] u de^u
=(1/2)ue^u - (1/2)∫[0→a²] e^u du
=(1/2)ue^u - (1/2)e^u |[0→a²]
=(1/2)a²e^a² - (1/2)e^a² + (1/2)

将三个结果代入得本题结果：
(π/8a²)(a²e^a²-e^a²+1)