Question

求微分方程y"+2y'-3y=e^2x的通解

求微分方程y"+2y'-3y=e^2x的通解。正在补考急求答案，要有解题过程

Answer 1

楼主你好，这是非齐次二阶线性微分方程式，解分成两部分，一部分是令右边等于0，转化成齐次后套用公式得出的通解y0，另一部分是给定方程的特解y1。具体解法如下：
特性方程式为λ²+2λ-3=0，解得λ=1,-3。
所以方程的通解是y0=Ae^x+Be^(-3x)
假设特解y1=αe^2x，带入原方程式，4αe^2x+4αe^2x-3αe^2x=e^2x
5αe^2x=e^2x,α=1/5
所以原方程式的通解y=y0+y1=1/5e^2x+Ae^x+Be^(-3x）（A,B为任意常数）

Answer 2

此微分方程的特征方程为r²+2r-3=0
所以r1=1,r2=-3,所以原方程的特解形式为：y*=ke^2x,对应的齐次微分方程的通解为：
Y=C1 e^x+C2 e^(-3x)
把特解的一阶和二阶导数求出来，代入原微分方程，得k=1/5
所以原微分方程的通解为y=y*+Y=C1 e^x+C2 e^(-3x)+1/5e^2x (C1和C2为任意常数）