Question

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右顶点分别为AB，点P在椭圆上且异于AB两点，O为坐标原点

若AP=OA，证明：直线OP的斜率k满足k的绝对值＞根号3
用参数的方法证明！！我证到后面证出是大于1。。。请高手给个证明！在线等！急急急！！满意再加50分！

Answer 1

直线OP过原点,设其方程为y=kx,再设点P的坐标为(Xp,kXp)
设P（acosθ,bsinθ）其中0≤θ<2π，又设OP的中点为Q，则Q(acosθ/2, bsinθ)
由于|AP|=|OA|所以,AQ⊥OP,则KAQ×k=-1,
其中KAQ= bsinθ/(2a+ acosθ)，即bsinθ- a×KAQ×cosθ=2a×KAQ
则2a×KAQ=√[(b^2+(a×KAQ)^2]sin(θ-φ)≤√[(b^2+(a×KAQ)^2]
< √[(a^2+(a×KAQ)^2]=a√(1+KAQ^2) (此步成立的条件是a>b>o或o<a<b)
所以|KAQ|<√3/3,结合KAQ×k=-1有|k|>√3

Answer 2

证明：
不失一般性，不妨认为点P在第二象限。
用参数方程
P(acosa,bsina) 显然π/2<a<π
AP=OA得
(acosa+a)^2+(bsina)^2=a^2
于是(bsina)^2=a^2-(acosa+a)^2=a^2(-2cosa-cos^2 a)
且有
(bsina)^2=a^2(-2cosa-cos^2 a)=b^2*(1-cos^2 a)＜a^2*(1-cos^2 a)
得cosa>-1/2
另cosa<0，故有-1/2<cosa<0
则K^2=b^2sin^2 a/(a^2cos^2 a)=(-2cosa-cos^2 a)/cos^2 a=-1-2/cosa>-1-2/(-1/2)=3
|k|>√3

追问

于是(bsina)^2=a^2-(acosa+a)^2=a^2(-2cosa-cos^2 a)
这步第二个式子是怎么等于第三个式子的? 还有为什么我把
(acosa+a)^2+(bsina)^2=a^2 直接展开消去a^2后得出的结果是k＞1，问题出在哪里，请斧正！

追答

a^2-(acosa+a)^2=a^2*[1-(1+cosa)^2]=a^2*[1-(1+2cosa+cos^2 a)]=a^2(-2cosa-cos^2 a)
至于你的解法，得到的结果当然是对的，但弱于要证明的结果，所以等于这道题你没有证明出来。原因是隐含条件a>b没有用到。

Answer 3

用参数方程
P（acosa,bsina)
AP=OA
(acosa+a)^2+(bsina)^2=a^2

K^2=b^2sina^2/a^2cos^2a=1/cosa^2-(cosa+1)^2/cosa^2≥0

-1≤cosa≤0

K^2=b^2sina^2/a^2cos^2a=1/cosa^2-(cosa+1)^2/cosa^2
=-1-2/cosa
当cosa=-1取最值

追问

cos=-1时，k²不就等于1了吗？你跟我证出来是一样的，跟题目不符啊！