Question

f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f-1(x),f(4)=0,则f-1(4)=?

解：
由函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，可得
f(x+1)+f(1-x)=4，对任何x都成立
在上式中，取x=3,得到
f(4)+(-2)=4,即
f(-2)=4
从而f-1(4)=-2，完。

我看到有这个解法，不明白f(x+1)+f(1-x)=4如何得到，求助

Answer 1

解答：
设P(x+1,f(x+1))在y=f(x)的图像上，
则P关于（1,2）的对称点P’（1-x, 4-f(x+1))也在y=f(x)的图像上
∴ f(1-x)=4-f(x+1)
即 f(x+1)+f(1-x)=4

追问

P’（1-x, 4-f(x+1)) 恕我数学真的很差，请问这个是怎么得来的？

追答

就是中点坐标公式
A（x1,y1),B（x2,y2)
AB中点横坐标(x1+x2)/2, 中点纵坐标(y1+y2)/2

P关于（1,2）的对称点为P‘
则PP’的中点为（1,2）
然后，就能得到上面的结果。
这种结果最好能直接口算，提高解题速度。

追问

您数学太好头脑转得快 我一下子转不过来啊x1+x2=2，y1+y2=4然后呢

追答

(x+1)+x2=2
f(x+1)+y2=4
所以 x2=2-(x+1)=1-x, y2=4-f(x+1)

Answer 2

是因为f(x)的图象关于点（1，2）对称