Question

已知函数f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）（x、y属于R）

已知函数f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）（x、y属于R）且f(1)≠f(2)，试证：f（x）是偶函数

Answer 1

证:令X=Y=0,则有F(O)+F(0)=2F(0)的平方
因为f(0)不等于0,所以F(0)=1
再令X=0,则得F(Y)+F(-Y)=2F(0)*F(Y).
因为F(0)=1.
所以F(-Y)=F(Y)
即F(X)为偶函数

Answer 2

f(1+1)+f(1-1)=2f(1)f(1)-----f(2)+f(0)=2f(1)f(1)
f[1+(-1)]+f[1-(-1)]=2f(1)f(-1)----------f(0)+f(2)=2f(1)f(-1)
所以f(1)=f(-1)
由f(1)≠f(2)用同样的方法可求f（0）=1
所以为偶函数