Question

已知数列{an}中,a2=2,前n项和为Sn,且Sn=n(an+1)/2

已知数列｛an｝中，a2＝2，前n项和为Sn且Sn＝n（an+1）/2

（1）证明数列｛a（n+1）-an｝是等差数列，并求出数列｛an｝的通项公式
（2）设bn＝1/（2an+1）（2an-1），数列｛bn｝的前n项和为Tn，求使得Tn＞k/57对一切n成立的最大正整数k的值． 要具体过程 写得好会会追加~

Answer 1

1.
证：
S2=a1+a2=2×(a2+1)/2=a2+1
a1=1
S3=a1+a2+a3=1+2+a3=3×(a3+1)/2
6+2a3=3a3+3
a3=3
n≥3时，
Sn=n(an +1)/2 S(n-1)=(n-1)[a(n-1) +1]/2
Sn-S(n-1)=an=n(an +1)/2 -(n-1)[a(n-1)+1]/2=nan/2 -(n-1)a(n-1)/2+1/2
nan -2an=(n-1)a(n-1) +1
(n-2)an=(n-1)a(n-1)+1
等式两边同除以(n-1)(n-2)
an/(n-1)=a(n-1)/(n-2)+1/[(n-1)(n-2)]=a(n-1)/(n-2) +1/(n-1) -1/(n-2)
(an -1)/(n-1)=[a(n-1)-1]/(n-2)
(a3-1)/(3-1)=(3-1)/(3-1)=1
n≥3时，数列{(an -1)/(n-1)}是各项均为1的常数数列。
(an -1)/(n-1)=1
an -1=n-1
an=n
n=1时，a1=1；n=2时，a2=2，同样满足。
综上，得数列{an}的通项公式为an=n
a(n+1)-an=(n+1)-n=1，为定值。
数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
2.
解：
bn=1/[(2an+1)(2an-1)]=1/[(2n+1)(2n-1)]=(1/2)[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
Tn=b1+b2+...+bn
=(1/2)[1/1-1/3+1/3-1/5+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=(1/2)[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)
Tn>k/57
n/(2n+1)>k/57
k<57n/(2n+1)=(57n+28.5-28.5)/(2n+1)=28.5 -28.5/(2n+1)
随n增大，2n+1单调递增，28.5/(2n+1)单调递减，28.5- 28.5/(2n+1)单调递增，要对任意正整数n，不等式恒成立，则当28.5 -28.5/(2n+1)最小时，等式仍成立，n=1时，28.5 -28.5/(2n+1)有最小值19
k<19，又k为正整数，k最大为18。

Answer 2

1
把2代入Sn＝n（an+1）/2
得S2=2(a2+1)/2得a1=1
Sn=n（an+a1）/2
所以｛an｝是等差数列｛a（n+1）-an｝为常数列是等差数列
an=n
2
bn=1/（2an+1）（2an-1)
Sb=1/(2*1+1)*(2*1-1).....
sb=(1-1/3+1/3-1/5...-1/2n+1)/2
=(1-1/2n+1)/2