Question

计算三重积分 ∫∫∫Zdv,其中Ω是由上球面Z=根号(4-x^2-y^2 )及拉面x^2+y^2=1.平面Z=0所围成的区域。

速度，感激不尽！！！

Answer 1

这是柱面、锥面与z=0所围区域，你需要自己会画图，这个立体在锥面之内，柱面之外。
本题最简单的方法是截面法（先2后1），先做二重积分，再对z作定积分。
用z平面截立体，所得截面为一圆环Dz：1≤x²+y²≤4-z²
当x²+y²=1时，锥面中的z=√3，因此z的范围是：0→√3

下面首先在Dz上作二重积分，然后再对z做定积分：
∫∫∫zdv

=∫[0→√3]zdz ∫∫(Dz) dxdy 其中Dz：1≤x²+y²≤4-z²
这个二重积分很简单，由于被积函数为1，积分结果就是圆环的面积π(4-z²-1)=π(3-z²)
=π∫[0→√3] z(3-z²) dz
=π∫[0→√3] (3z-z³) dz
=π[(3/2)z²-(1/4)z^4] |[0→√3]
=π(9/2-9/4)
=9π/4

Answer 2

用柱坐标,先积Z,就成了0.5z^2=0.5(4-r^2)
现在以经是二元积分了,与角度无关先把2pi乘上,下面看被积函数,0.5(4-r^2)r注意柱坐标多一个r,下面丛0到1积就可以,结果是(5/3)pi对么?

Answer 3

就是求这个围成的立体的体积''口算答案出不来。。。把x方加y方看成r方再算'就是利用极坐标算

追问

麻烦你具体过程帮我计算一下好吗？谢谢！我确实不会，还有啊这个题目对我很重要。