Question

已知a∈R，函数f(x)=x|x-a|,问题（1）当a=2时，写出函数y=f(x)的单调递增区间

；（2）求函数y=f(x)在区间[0,2]上的最值

Answer 1

当x>=2时，f(x)= x^2-2x, f(x)在x=1右侧递增，所以单调增区间为(2,无穷大)
当x<2时，f(x)=2x-x^2 f(x)在x<1时递增，所以单调区间为(-无穷大,1)

在[0,2]上，根据前述，函数在(0,1)上递减，在(1,2)上也递减，所以在x=0 时最大，在x=2时最小，带入就知道答案

追问

能不能把第二题过程详细写一下，谢谢

追答

不能，这个你画个图就直接可以看出了，根本没有什么“详细”过程

追问

图我已经画好了，可是老师好像说第二题需要分4类情况讨论的

追答

hmm,第二题没有a=2的条件，你需要分
a2和 0<a<1和1<a<2四种情况分析

Answer 2

（1）当x>=2时，f(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1，对称轴x=1，开口向上，单调递增区间：x∈[1,+∞)。
当x<2时，f(x)=-x^2+2x=-(x-1)^2+1，对称轴x=1，开口向下，单调递增区间：x∈(-∞,1]。
(2)当x>=a时，f(x)=x^2-ax，开口向上，f'(x)=2x-a=0，x=a/2时f(x)有极值f(a/2)=-a^2/4，f(0)=0，
f(2)=4-2a。当a/2<0时，f(x)min=0,f(x)max=4-2a；当0<a/2<1时，f(x)min=-a^2/4,f(x)max=4-2a；当1=<a/2<2时，f(x)min=-a^2/4,f(x)max=0；当a/2>2时，f(x)min=4-2a,f(x)max=0。
当x<a时，f(x)=-x^2+ax，开口向下，f'(x)=-2x+a=0,x=a/2时f(x)有极值f(a/2)=a^2/4,f(0)=0,
f(2)=2a-4。当a/2<0时，f(x)max=0,f(x)min=2a-4；当0<a/2<1时，f(x)min=2a-4,f(x)max=a^2/4；当1=<a/2<2时，f(x)min=0,f(x)max=a^2/4；当a/2>2时，f(x)min=0,f(x)max=2a-4。